Гиперболическая плоскость Hb положительной кривизны реализуется на внешней относительно овальной линии области проективной плоскости P2, т. е. на идеальной области плоскости Лобачевского. В работах автора построены первые разбиения плоскости Hb. Среди них есть серии нормальных, но не моноэдральных разбиений и серии моноэдральных разбиений, не являющихся нормальными. В данной работе построены серии первых нормальных моноэдральных разбиений плоскости Hb. Одним из топологических отличий плоскости Hb от плоскости Лобачевского Λ 2 является тот факт, что никакая прямая плоскости Hb не разбивает плоскость на части (набор чисел Бетти для плоскости Hb: β0 = 1, β1 = 1, для плоскости Λ 2 : β0 = 1, β1 = 0). Вследствие этого основные известные методы построения разбиений плоскости Лобачевского не могут быть применены в разбиениях плоскости Hb. В качестве исключения можно рассматривать схему разбиения плоскости Λ 2 , предложенную венгерским ма- тематиком К. Берёцким. В данной работе схема Берёцкого адаптирована к плоскости Hb, с ее помощью построены нормальные моноэдральные раз- биения плоскости Hb с одной удаленной параболической прямой. Подробно исследованы ячейки построенных разбиений — правильные орицикли- ческие n-трапеции. Правильной орициклической n-трапецией называем (n + 3)-реберник, два ребра которого — конгруэнтные отрезки параллель- ных гиперболических прямых, а остальные ребра — конгруэнтные между собой эллиптические отрезки, причем один из них служит внутренней хордой некоторого орицикла ω, а остальные n отрезков — внутренними хордами орицикла, концентрического с ω. Для исследования ячеек разбиения в работе введена орициклическая система ортогональных криволинейных координат. Получены вспомогательные формулы площадей некоторых фигур на плоскости Hb. Доказано, что площадь правильной орициклической n-трапеции можно выразить с помощью введенной автором функции αe угла квазипараллельности на плоскости Hb, а длина бокового ребра не зависит от длины эллиптических ребер и равна ρ ln n, где ρ — радиус кривизны плоскости Hb.
A hyperbolic plane Hb of positive curvature is realized on the external domain whith respect to the oval curve of the projective plane P2, i.e. on the ideal domain of the Lobachevskii plane. In works of the author the first partitions of the plane Hb are constructed. Among them there are series of the normal, but not monohedral partitions and the series of the monohedral partitions which are not the normal. In this work the series of the first normal monohedral partitions of the plane Hb are constructed. One of topological differences of the plane Hb from the Lobachevskii plane is in the following fact. No line of the plane Hb partitions the plane (the set of Betti numbers for the plane Hb: β0 = 1, β1 = 1, for the plane Λ 2 : β0 = 1, β1 = 0). Therefore the main known methods of a construction of partitions of the Lobachevskii plane can not be applied in partitions of the plane Hb. As an exception it is possible to consider the tiling scheme of the plane Λ 2 offered by the Hungarian mathematician K. Beretsky. In present work Beretsky’s scheme is adapted for the plane Hb. On the basis of this scheme the normal monohedral partitions the plane Hb with one remote parabolic line are constructed. The cells of the constructed partitions are the correct horocyclic n-trapezes. They are in detail investigated in this work. The correct horocyclic n-trapeze called the (n+3)-hedral which contain two congruent edges on the parallel hyperbolic lines. The other edges of (n + 3)-hedral are the congruent elliptic segments. One of them serves as an internal chord of some horocycle ω, and other n segments are the internal chords of the concentric with ω horocycle. For research of the cells of partitions in present work the orthogonal horocyclic coordinate system is entered. Auxiliary formulas of the areas of some figures of the plane Hb are received. It is proved that the area of the correct horocyclic n-trapeze can be expressed by means of the function αe of a quasiparallelism angle entered by the author on the plane Hb. The length of the side edge no depend from the length of elliptic edges and is equal to ρ ln n, where ρ is the radius of curvature of the plane Hb.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.