chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2026-27-1-153-165cheb-2191Research ArticleИстория математики и приложенийСomputer scienceАнализ сходимости метода спектральных элементов на примере задачи Лэмба в сравнении с аналитическим решениемConvergence analysis of the spectral element method on the example of the Lamb problem in comparison with the analytical solutionЛевинВладимир АнатольевичLevinVladimir Anatol’evich

доктор физико-математических наук, профессор

doctor of physical and mathematical sciences, professor

v.a.levin@mail.ruВершининАнатолий ВикторовичVershininAnatoliy Victorovich

доктор физико-математических наук, научный сотрудник

doctor of physical and mathematical sciences

versh1984@mail.ruЗингерманКонстантин МоисеевичZingermanKonstantin Moiseevich

доктор физико-математических наук, профессор

doctor of physical and mathematical sciences, professor

zingerman@rambler.ruУхановЕвгений МихайловичUkhanovEvgeny Mikhailovich

студент

student

evgenii.ukhanov@math.msu.ruМосковский государственный университет им. М. В. ЛомоносоваРоссияLomonosov Moscow State UniversityRussian FederationТверской государственный университетРоссияTver State UniversityRussian Federation202615042026271153165Copyright © Левин В.А., Вершинин А.В., Зингерман К.М., Уханов Е.М., 20262026Левин В.А., Вершинин А.В., Зингерман К.М., Уханов Е.М.Levin V.A., Vershinin A.V., Zingerman K.M., Ukhanov E.M.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/2191

Выполнен анализ сходимости метода спектральных элементов (одной из современных модификаций метода конечных элементов) для динамической задачи теории упругости посредством сравнения численного решения с аналитическим решением задачи Лэмба —задачи о динамическом воздействии на границу полуплоскости или полупространства сосредоточенной или распределенной нагрузкой, меняющейся по некоторому временномузакону. В статье рассматривается воздействие на границу нагрузкой, меняющейся по временному закону Берлаге. Расчеты выполнены с использованием отечественного прочностного программного пакета «Фидесис». Приводятся графики распределения напряжений для исследуемого материала. Исследована зависимость погрешности численного решенияот порядка элементов при фиксированном количестве точек на длину волны Рэлея.

The convergence analysis of the spectral element method (one of the modern modifications of the finite element method) for the dynamic problem of elasticity theory is performed by comparing the numerical solution with the analytical solution of the Lamb problem — theproblem of dynamic action on the boundary of a half-plane or half-space by a concentrated or distributed load changing according to some time law. The article considers the effect on the boundary of a load changing according to the Berlage time law. The calculations areperformed using the domestic strength software package “Fidesys”. Stress distribution graphs for the material under study are given. The dependence of the error of the numerical solution on the order of elements for a fixed number of points per Rayleigh wavelength is investigated.

задача Лэмбазакон Берлагеметод конечных элементовметод спектральных элементовпогрешность численного решения.Lamb’s problemBerlage’s lawfinite element methodspectral element methodnumerical solution error.Работа выполнена в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова при поддержке Российского научного фонда (проект 22-11-00110).ReferencesLamb H. On the Propagation of Tremors over the Surface of an Elastic Solid. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Ser. A. 1904, vol. 203, pp. 1—42.Lamb, H. 1904, “On the propagation of Tremors over the Surface of an Elastic Solid”, Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, vol. 203, pp. 1–42.Lamb H. On waves due to a travelling disturbance, with an application to waves in superposed fluids. Philosophical Magazine, 1916, vol. 13, pp. 386—399, 539—548.Lamb, H. 1916, “On Waves due to a Travelling Disturbance, with an Application to Waves in Super-posed Fluids”, Philosophical Magazine, vol. 31, pp. 386–399, 539–548.Седов Л. И. Механика сплошной среды. Т.2 М.: Наука, 1970г стр. 404-409Sedov, L.I. 1970, Continuum Mechanics, Vol. 2, Nauka, Moscow, pp. 404-409.Аки К., Ричардс П. Количественная сейсмология: Теория и методы: Том.1 — М.: Мир, 1983. — 520 с.Aki, K. & Richards, P.G. 1983, Quantitative Seismology: Theory and Methods, Vol. 1, Mir Publ., Moscow, 520 p.Перегудов Д.В. Двумерная задача Лэмба. Метод Каньяра // Вычислительная сейсмология. 2000. Вып. 31. С. 120–137.Peregudov, D.V. 2000, “The two-dimensional Lamb problem. Kanyar’s method”, Computational Seismology, no. 31, pp. 120–137.Поручиков В.Б. Методы динамической теории упругости. М. : Наука, 1986. П. МИР, Москва, 1983 г., 360 стр., УДК: 53+55Poruchikov, V.B. 1986, Metody dinamicheskoy teorii uprugosti [Methods of the Dynamic Theory of Elasticity], Nauka Publ., Moscow.Братов В. А., Кузнецов С. В., Морозов Н. Ф.. Задачи Лэмба и родственные проблемы динамики // Прикладная математика и механика. 2022. Том 86, номер 4, страницы 451–469. doi: 10.31857/S003282352204004XBratov, V.A., Kuznetsov, S.V. & Morozov, N.F. 2022, “Lamb’s problems and related problems of dynamics”, Applied Mathematics and Mechanics, vol. 86, no. 4, pp. 451–469. doi: 10.31857/S003282352204004X.Kausel, E. 2012 “Lamb’s Problem at Its Simplest.” Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences 469 (2149): 20120462–20120462. doi: 10.1098/rspa.2012.0462Kausel, E. 2012, “Lamb’s Problem at Its Simplest”, Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, vol. 469, no. 2149, doi: 10.1098/rspa.2012.0462.Strutt J.W. (Lord Rayleigh), On wave propagating along the plane surface of an elastic solid. Proc. London Math. Soc., 1885, vol. 17, pp. 4—11.Strutt, J.W. (Lord Rayleigh) 1885, “On wave propagating along the plane surface of an elastic solid”, Proceedings of the London Mathematical Society, vol. 17, pp. 4–11.Gulizzi, Vincenzo; Saye, Robert. ≪ Modeling wave propagation in elastic solids via high-order accurate implicit-mesh discontinuous Galerkin methods≫ // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 395 (2022) 114971. DOI:10.1016/j.cma.2022.114971.Gulizzi, V. & Saye, R. 2022, “Modeling wave propagation in elastic solids via high-order accurate implicit-mesh discontinuous Galerkin methods”, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol. 395, art. id. 114971, doi: 10.1016/j.cma.2022.114971.Левин В.А., Вершинин А.В. Нелинейная вычислительная механика прочности. Том 2. Численные методы. Параллельные вычисления на ЭВМ. Под общ. ред. В.А. Левина. М.: Физматлит, 2015. 544 с.Levin, V.A. & Vershinin, A.V. (eds.) 2015, Nonlinear Computational Strength Mechanics. Vol. 2. Numerical Methods. Parallel computing [Nelinejnaya vy‘chislitel‘naya mekhanika prochnosti. Tom 2. Chislenny‘e metody‘. Parallel‘ny‘e vy‘chisleniya na E‘VM.], Fizmatlit, Moscow, 544 p.Lee E. H. Elastic-Plastic Deformation at Finite Strains. Journal of Applied Mechanics. 1969. Vol. 36. Issue 1. P. 1-6.Lee, E.H. 1969, “Elastic-Plastic Deformation at Finite Strains”, Journal of Applied Mechanics, vol. 36, no. 1, pp. 1–6.Levin, V.A., Zingerman, K.M., Krapivin, K.Y., 2023. "Numerical solution of stress concentration problems in elastic-plastic bodies under the superposition of finite deformations". Advanced Structured Materials. V. 198. P. 305–323. doi: 10.1007/978-3-031-43210-1_18.Levin, V.A., Zingerman, K.M. & Krapivin, K.Y. 2023, “Numerical solution of stress concentration problems in elastic-plastic bodies under the superposition of finite deformations”, Advanced Structured Materials, vol. 198, pp. 305–323, doi: 10.1007/978-3-031-43210-1_18.Komatitsch D., Vilotte J. P. The spectral element method: An efficient tool to simulate the seismic response of 2D and 3D geological structures // Bull. Seismol. Soc. Am. 88:2 (1998), 368–392.Komatitsch, D. & Vilotte, J.P. 1998, “The spectral element method: An efficient tool to simulate the seismic response of 2D and 3D geological structures”, Bulletin of the Seismological Society of America, vol. 88, no. 2, pp. 368–392, doi: 10.1785/BSSA0880020368.Konovalov D. Vershinin A., Zingerman K., Levin V. The implementation of spectral element method in a CAE system for the solution of elasticity problems on hybrid curvilinear meshes // Modeling and Simulation in Engineering. 2017 (2017), art. id. 1797561.Konovalov, D., Vershinin, A., Zingerman, K. & Levin, V. 2017, “The implementation of spectral element method in a CAE system for the solution of elasticity problems on hybrid curvilinear meshes”, Modeling and Simulation in Engineering, vol. 2017, art. id. 1797561, doi: 10.1155/2017/1797561.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.