chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2026-27-1-111-133cheb-2187Research ArticleСтатьиArticleИнтегрирование модифицированного уравнения Кортевега – де Фриза с интегральным источникомIntegration of the modified Korteweg-de Vries equation with an integral sourceЯхшимуратовАлишер БекчановичYaxshimuratovAlisher Bekchanovich

доктор физико-математических наук

doctor of physical and mathematical sciences

alisher.yakhshi@gmail.comХасановМузаффар МашариповичKhasanovMuzaffar Masharipovich

доктор философии (PhD) по физико-математическим наукам

doctor of philosophy (PhD) in physical and mathematical sciences

hmuzaffar@mail.ruУниверситет МамунаРоссияMamun UniversityRussian FederationУргенчский государственный университетРоссияUrgench State UniversityRussian Federation202615042026271111133Copyright © Яхшимуратов А.Б., Хасанов М.М., 20262026Яхшимуратов А.Б., Хасанов М.М.Yaxshimuratov A.B., Khasanov M.M.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/2187

В данной работе рассматривается модифицированное уравнение Кортевега – де Фриза с интегральным источником. Показано, что метод обратной спектральной задачи может быть применен для интегрирования модифицированного равнения Кортевега – де Фриза с интегральным источником. Определена эволюция спектральных данных оператора Дирака с периодическим потенциалом, связанным с решением модифицированного уравнения Кортевега – де Фриза с интегральным источником. Доказана разрешимость задачи Коши для бесконечной системы дифференциальных уравнений Дубровина — Трубовица в классе шесть раз непрерывно дифференцируемых периодических функций. Показано, что построенное решение действительно удовлетворяет рассматриваемому уравнению.

In this paper, we consider the modified Korteweg–de Vries equation with an integral source.It is shown that the inverse spectral problem method can be applied to integrate the modified Korteweg–de Vries equation with an integral source. The evolution of the spectral data of the Dirac operator with a periodic potential associated with the solution of the modifiedKorteweg–de Vries equation with an integral source is determined. The solvability of the Cauchy problem for the infinite system of Dubrovin–Trubowitz differential equations in the class of six times continuously differentiable periodic functions is proved. It is shown that the  constructed solution, indeed, satisfies the equation under consideration.

модифицированное уравнение Кортевега – де Фризасамосогласованный источникоператор Диракаобратная спектральная задачасистема уравнений Дубровина – Трубовицаформулы следов.Modified Korteweg-de Vries equationself-consistent sourceDirac operatorinverse spectral problemDubrovin-Trubowitz system of equationstrace formulas.ReferencesWadati M. The exact solution of the modified Korteweg-de Vries equation // J. Phys. Soc. Japan. 1972. V. 32, P. 1681.Wadati, M. 1972, “The exact solution of the modified Korteweg-de Vries equation”, J. Phys. Soc. Japan, vol. 32, pp. 1681.Итс А.Р. Точное интегрирование в римановых - функциях нелинейного уравнения Шредингера и модифицированного уравнения Кортевега – де Фриза // Дисс. канд. физ.-мат. наук, Л.: ЛГУ. 1977.Its, A.R. 1977, “Exact integration in Riemannian functions of the nonlinear Schr¨𝑜dinger equation and the modified Korteweg-de Vries equation, Diss. Cand. of Phys. and Mathematics, L.: LSU. (in Russian).Итс А.Р., Матвеев В. Б. Операторы Шредингера с конечнозонным спектром и 𝑁-солитонные решения уравнения Кортевега – де Фриза // Теорет. мат. физ.. 1975. T. 23, № 1. C. 51–68.Smirnov, A.O. 1994, “Elliptic solutions of the nonlinear Schr¨𝑜dinger equation and the modified Korteweg-de Vries equation”, Mat. sb., vol. 185, pp. 103–114. (in Russian)Смирнов А. О. Эллиптические решения нелинейного уравнения Шредингера и модифицированного уравнения Кортевега – де Фриза // Мат. сб.. 1994. Т. 185, № 8. С. 103–114.Mel’nikov, V.K. 1988, “Exact solutions of the Kortewed-de Vries equation with a self-consistent source”, Phys. Lett. A, vol. 128, pp. 488-492.Mel’nikov V. K. Exact solutions of the Kortewed-de Vries equation with a self-consistent source // Phys. Lett. A. 1988. V. 128. P. 488–492.Leon, J. & Latifi, A. 1990, “Solution of an initial-boundary value problem for coupled nonlinear waves”, J.Phys. A: Math. Gen. - Bristol (UK), vol. 23. pp. 1385–1403.Leon J., Latifi A. Solution of an initial-boundary value problem for coupled nonlinear waves // J.Phys. A: Math. Gen. - Bristol (UK). 1990. V. 23. P. 1385–1403.Its, A.R. & Matveev, V.B. 1975, “Finite-gap Schr¨𝑜dinger operators and N-soliton solutions of the Korteweg-de Vries equation”, Teoret. mat. Phys., vol. 23, no. 1, pp. 51–68.Матёкубов М. М. Интегрирование уравнения типа Кортевега–де Фриза с нагруженным членом в классе периодических функций // Изв. ИМИ УдГУ. 2024. Т. 64. С. 60–69. https://doi.org/10.35634/2226-3594-2024-64-05Matyoqubov, M.M. 2024, “Integration of the Korteweg–de Vries type equations with a loaded term in the class of periodic functions”, Izv. IMI UdGU, vol. 64, pp. 60–69. https://doi.org/10.35634/2226-3594-2024-64-05Khasanov M. M. Modified Korteweg-de Vries equation with a self-consistent source // AIP Conference Proceedings. 2023. Vol. 2781, Issue 1. P. 020009,1-020009,5. https://doi.org/10.1063/5.0145265.Khasanov, M.M. 2023, “Modified Korteweg-de Vries equation with a self-consistent source”, AIPConference Proceedings, vol. 2781, Issue 1, pp. 020009,1-020009,5. https://doi.org/10.1063/5.0145265.Уразбоев Г.У., Балтаева И. И., Рахимов И. Д. Обобщённый метод (G’/G) - расширения для нагруженного уравнения Кортевега — де Фриза // Сиб. журн. индустр. матем.. 2021. Т. 24, №. 4. P. 139–147. https://doi.org/10.33048/SIBJIM.2021.24.410.Urazboev, G.U., Baltaeva, I.I. & Rakhimov, I.D. 2021, “A generalized (G’/G) - expansion method for the loaded Korteweg—de Vries equation”, Sib. Zh. Ind. Mat., vol. 24:4, pp. 139–147, https://doi.org/10.33048/SIBJIM.2021.24.410.Baltaeva I. I., Rakhimov I. D., Khasanov M. M. Exact Traveling Wave Solutions of the Loaded Modified Korteweg-de Vries Equation // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2022. Т. 41. C. 85–95. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2022.41.85.Baltaeva, I.I., Rakhimov, I.D. & Khasanov, M.M. 2022, “Exact Traveling Wave Solutions of the Loaded Modified Korteweg-de Vries Equation”, The Bulletin of Irkutsk State University. Series Mathematics, vol. 41, pp. 85–95. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2022.41.85.Urazboev G. U., Khasanov M. M., Rakhimov I. D. Generalized (G’/G) - Expansion Method and Its Applications to the Loaded Burgers Equation // Azerbaijan Journal of Mathematics. 2023. Vol. 13, No 2. P. 248–257. https://doi.org/10.59849/2218-6816.2023.2.248Urazboev,G.U., Khasanov, M.M. & Rakhimov, I.D. 2023, “Generalized (G’/G) - Expansion Method and Its Applications to the Loaded Burgers Equation”, Azerbaijan Journal of Mathematics, vol. 13, No 2, pp. 248–257. https://doi.org/10.59849/2218-6816.2023.2.248Xasanov M. M., Ganjaev O. Y. A Generalized Direct Methods for the Loaded Nonlinear Degasperis-Procesi Equation // AIP Conference Proceedings, (International Scientific and Practical Conference on Actual Problems of Mathematical Modeling and Information Technology). 2024. Vol. 3147, Issue 1. P. 030006,1-020006,6. https://doi.org/10.1063/5.0210105.Xasanov, M.M. & Ganjaev, O.Y. 2024, “A Generalized Direct Methods for the Loaded Nonlinear Degasperis-Procesi Equation”, AIP Conference Proceedings, (International Scientific and Practical Conference on Actual Problems of Mathematical Modeling and Information Technology, vol. 3147, Issue 1, pp. 030006,1-020006, 6. https://doi.org/10.1063/5.0210105.Уразбоев Г.У., Балтаева И. И., Исмоилов О. Б. Интегрирование уравнения Кортевега – де Фриза отрицательного порядка методом обратной задачи рассеяния // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2023. Т. 33. Вып. 3. С. 523–533. https://doi.10.35634/vm230309Urazboev, G.U., Baltaeva, I.I. & Ismoilov, O.B. 2023, “Integration of the negative order Korteweg–de Vries equation by the inverse scattering method”, Vestn. Udmurtsk. Univ. Mat. Mekh. Komp. Nauki, vol. 33:3, pp. 523–533. https://doi. 10.35634/vm230309Уразбоев Г.У., Хасанов М. М. Интегрирование уравнения Кортевега – де Фриза отрицательного порядка с самосогласованным источником в классе периодических функций // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2022. Т. 32. Вып. 2. С. 228–239. https://doi.org/10.35634/vm220205Urazboev, G.U. & Hasanov, M.M. 2022, “Integration of the negative order Korteweg-de Vries equation with a self-consistent source in the class of periodic functions”, Vestn. Udmurtsk. Univ. Mat. Mekh. Komp. Nauki, vol. 32:2, pp. 228–239. https://doi.org/10.35634/vm220205Уразбоев Г.У., Хасанов М. М., Балтаева И. И. Интегрирование уравнения Кортевега – де Фриза отрицательного порядка с источником специального вида // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2023. Т. 44. C. 31–43. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2023.44.31Urazboev, G.U., Khasanov, M.M. & Baltaeva, I.I. 2023, “Integration of the Negative Order Korteweg-de Vries Equation with a Special Source”, The Bulletin of Irkutsk State University. Series Mathematics, vol. 44, pp. 31–43. (in Russian). https://doi.org/10.26516/1997-7670.2023.44.31Хасанов М. М., Рахимов И. Д. Интегрирование уравнения КдФ отрицательного порядка со свободным членом в классе периодических функций // Чебышевcкий сборник. 2023. Т. 24, вып. 2. С. 266–275. https://doi 10.22405/2226-8383-2023-24-2-266-275.Khasanov, M.M. & Rakhimov, I.D. 2023, “Integration of the KdV equation of negative order with a free term in the class of periodic functions”, Chebyshevskii sbornik, vol. 24, pp. 266–275.Уразбоев Г.У., Яхшимуратов А. Б., Хасанов М. М. Интегрирование модифицированного уравнения Кортевега – де Фриза отрицательного порядка в классе периодических функций // Теорет. и матем. физика. 2023. Т. 217, №. 2. С. 317–328. https://doi.org/10.4213/tmf10580https://doi 10.22405/2226-8383-2023-24-2-266-275.Уразбоев Г.У., Хасанов М. М., Исмоилов О. Б. Интегрирование модифицированного уравнения Кортевега–де Фриза отрицательного порядка с нагруженным членом в классе периодических функций // Дифференциальные уравнения. 2024. Т. 60, № 12. С. 1703–1712. https://doi.org/ 10.31857/S0374064124120094Urazboev, G.U., Yakhshimuratov, A.B. & Khasanov, M.M. 2023, “Integration of negative-order modified Korteweg–de Vries equation in a class of periodic functions”, Theoret. and Math. Phys., vol. 217:2, pp. 317–328. https://doi.org/10.4213/tmf10580Хасанов М. М., Рахимов И. Д., Азимов Д. Б. Интегрирование нагруженного нелинейного уравнения Шредингера отрицательного порядка в классе периодических функций // Вестник Иркутского государственного университета. Серия ≪Математика≫. 2024. Т. 50. С. 51–65. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2024.50.51Urazboev, G.U., Khasanov, M.M. & Ismoilov, O.B. 2024, “Integration of the negative order modified Korteweg–de Vries equation with a loaded term in the class of periodic functions”, Differencial’nye uravneniya, vol. 60, pp. 1703–1712. doi:10.1134/S1234567823601468Уразбоев Г.У., Хасанов М. М., Исмоилов О. Б. Интегрирование модифицированного уравнения Кортевега–де Фриза отрицательного порядка с интегральным источником // Известия Института математики и информатики Удмуртского государственного университета. 2024. Т. 63. С. 80–90. https://doi.org/10.35634/2226-3594-2024-63-06Khasanov, M.M., Rakhimov, I.D. & Azimov, D.B. 2024, “IIntegration of the Loaded Negative Order Nonlinear Schrodinger Equation in the Class of Periodic Functions”, The Bulletin of Irkutsk State University. Series Mathematics, vol. 50, pp. 51–65. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2024.50.51Urazboev G. U., Xasanov M. M., Ganjaev O. Y. Integration of the loaded negative order Korteweg-de Vries equation in the class of periodic functions // International Journal of Applied Mathematics. 2024. Vol. 37. P. 37–46. doi: http://dx.doi.org/10.12732/ijam.v37i1.4Urazboev, G.U., Khasanov, M.M. & Ismoilov, O.B. 2024, “Integration of negative-order modified Korteweg–de Vries equation with an integral source”, Izv. IMI UdGU, vol. 63, pp. 80–90. https://doi.org/10.35634/2226-3594-2024-63-06Urazboev G. U., Baltaeva I. I., Atanazarova Sh. E. Soliton Solutions of the Negative Order Modified Korteweg – de Vries Equation // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2024. Т. 47. C. 63– 77. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2024.47.63.Urazboev, G.U., Xasanov, M.M. & Ganjaev, O.Y. 2024, “Integration of the loaded negative order Korteweg-de Vries equation in the class of periodic functions”, International Journal of Applied Mathematics, vol. 37, no. 1, pp. 37–46. doi: http://dx.doi.org/10.12732/ijam.v37i1.4Urazboev G. U., Baltaeva I. I., Babadjanova A. K. Soliton solutions of the negative-order nonlinear Schr¨𝑜dinger equation // Theor Math Phys. 2024. Vol. 219. P. 761–769. https://doi.org/10.1134/S0040577924050052Urazboev, G.U., Baltaeva, I.I. & Atanazarova, Sh.E. 2024, “Soliton Solutions of the Negative Order Modified Korteweg – de Vries Equation”,The Bulletin of Irkutsk State University. Series Mathematics, vol. 47, pp. 63–77. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2024.47.63.Уразбоев Г.У., Балтаева И. И., Исмоилов О. Б. Теория рассеяния для нагруженного уравнения Кортевега – де Фриза отрицательного порядка // Чебышевский сборник. 2024. Vol. 25. PP. 169–180. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2024-25-2-169-180.Urazboev, G.U., Baltaeva, I.I. & Babadjanova, A.K. 2024, “Soliton solutions of the negativeorder nonlinear Schr¨𝑜dinger equation”, Theor. Math. Phys., vol. 219, pp. 761–769. https://doi.org/10.1134/S0040577924050052Urazboev G. U., Khasanov M. M., Babadjanova A. K. Integration of the Negative Order Nonlinear Schr¨𝑜dinger Equation in the Class of Periodic Functions // Lobachevskii J Math. 2024. Vol. 45. P. 5305–5312. https://doi.org/10.1134/S1995080224606106.Urazboev, G.U., Baltaeva, I.I. & Ismoilov, O.B. 2024, “Scattering theory for the loaded negative order Korteweg–de Vries equation”, Chebyshevskii sbornik, vol. 25:2, pp. 169–180. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2024-25-2-169-180.Левитан Б. М., Саргсян И. С. Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака. М.: Наука, 1988.Urazboev, G.U., Khasanov, M.M. & Babadjanova, A.K. 2024, “Integration of the Negative Order Nonlinear Schr¨𝑜dinger Equation in the Class of Periodic Functions”, Lobachevskii J Math, vol. 45, pp. 5305–5312. https://doi.org/10.1134/S1995080224606106.Мисюра Т. В. Характеристика спектров периодической и антипериодической краевых задач, порождаемых операцией Дирака I. // Теория функций, функц. анализ и их прил. 1978. Т. 30. С. 90–101.Levitan, B.M. & Sargsyan, I.S. 1988, “Sturm-Liouville and Dirac operators“, M.: Nauka. (in Russian)Хасанов А. Б., Ибрагимов А. М. Об обратной задаче для оператора Дирака с периодическим потенциалом // Узб. мат. журнал. 2001. Т. 3. C. 48–55.Misjura, T.V. 1978, “Theory of Functions, Functional Analysis and Their Applications (V. A. Marchenko, ed.)”, Publishing House of Kharkiv State University named after A. M. Gorky, Kharkiv, pp. 90–101.Djakov P. B., Mityagin B. S. Instability zones of periodic 1-dimensional Schr¨𝑜dinger and Dirac operators // Russian Math. Surveys. 2006. Vol. 61(4). P. 663–766.Khasanov, A.B. & Ibragimov, A.M. 2001, “On the inverse problem for the Dirac operator with periodic potential”, Uzbek Mat. J., pp. 48–55. (in Russian)Currie S., Roth T., Watson B. Borg’s periodicity theorems for first-order self-adjoint systems with complex potentials // Proceedings of the Edinburgh mathematical society. 2017. V. 60. P. 615–633.Djakov, P.B. & Mityagin, B.S. 2006, “Instability zones of periodic 1-dimensional Schr¨𝑜dinger and Dirac operators”, Russian Math. Surveys, vol. 61:4, pp. 663–766.Левитан Б. М. Обратные задачи Штурма - Лиувилля. - М.: Наука, 1984. 240 с.Currie, S., Roth, T. & Watson, B. 2017, “Borg’s periodicity theorems for first-order self-adjoint systems with complex potentials”, Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society, vol. 60, pp. 615–633.Марченко В. А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. -Киев: Наукова думка, 1977. - 332 с.Levitan, B.M. 1984. “Inverse Sturm-Liouville problems”, M.: Nauka, p. 240 (in Russian)Marchenko, V.A. 1977, “Sturm-Liouville operators and their applications”, Kiev: Naukova Dumka, p. 332. (in Russian)Marchenko, V.A. 1977, “Sturm-Liouville operators and their applications”, Kiev: Naukova Dumka, p. 332. (in Russian)

The authors declare that there are no conflicts of interest present.