chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2026-27-1-97-110cheb-2186Research ArticleСтатьиArticleО свободных углах 𝑅𝑅-многогранниковOn free angles of 𝑅𝑅-polyhedraСубботинВладимир ИвановичSubbotinVladimir Ivanovich

кандидат физико-математических наук

candidate of physical and mathematical sciences

geometry@mail.ruЮжно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И.Платова; Донской государственный аграрный университетРоссияPlatov South Russian State polytechnic university (NPI); Don State Agrarian UniversityRussian Federation20261504202627197110Copyright © Субботин В.И., 20262026Субботин В.И.Subbotin V.I.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/2186

В статье выведены формулы для свободных углов различного порядка 𝑅𝑅-многогранников и приложения найденных соотношений к доказательству полноты списка несоставных 𝑅𝑅-многогранников второго типа с остроугольными ромбическими вершинами. Свободные углы первого порядка — это плоские углы, вершины которых принадлежат ромбическим звёздам 𝑅𝑅-многогранников. Стороны каждого свободного угла первого порядка являются двумя сторонами смежных ромбов ромбической звезды. Ранее автором была найдена связь острых углов ромбов ромбической вершины со с вободными углами первого порядка. Здесь будут установлены связи плоских углов между двумя сторонами правильных многоугольников, подклеенных в свободные углы первого порядка, с острыми углами ромбов. Углы между сторонами правильных граней названы в работе свободными углами второго порядка. Аналогично стороны соседних правильных многоугольников, подклеенных в свободные углы второго порядка, образуют угол, названный свободнымуглом третьего порядка. Рассмотрены все возможные случаи подклеивания одного или двух одинаковых правильных многоугольников в свободные углы, что позволяет установить полноту списка несоставных 𝑅𝑅-многогранников с остроугольными ромбическими вершинами и правильными гранями различного типа.

This article derives formulas for free angles of various orders of RR-polytopes and applies the resulting relations to prove the completeness of the list of non-composite RR-polytopes of the second type with acute-angled rhombic vertices. Free angles of the first order are flat angles whose vertices belong to the rhombic stars of the RR-polytopes. The sides of each free angle of the first order are two sides of adjacent rhombi of the rhombic star. Previously, the author found a relationship between the acute angles of the rhombic vertex rhombi and free angles of the first order. Here, we will establish relationships between the flat angles between two sides of regular polygons glued into free angles of the first order and the acute angles of the rhombi.The angles between the sides of regular faces are called free angles of the second order in this article. Similarly, the sides of adjacent regular polygons glued into free angles of the second order form an angle called a free angle of the third order. All possible cases of gluing one or two identical regular polygons into free angles are considered, which makes it possible to establish the completeness of the list of non-composite 𝑅𝑅-polyhedra with acute-angled rhombic vertices and regular faces of various types.

свободный уголромбические вершины𝑅𝑅-многогранникзвезда ромбической вершиныfree anglerhombic vertices𝑅𝑅-polyhedronrhombic vertex star.ReferencesCoxeter H. S. Regular polytopes. London-NY. 1963.Coxeter H. S. 1963, Regular polytopes, London-NY.Деза М., Гришухин В. П., Штогрин М. И. Изометрические полиэдральные подграфы вDeza M, Grishukhin V.P., Shtogrin M. I. 2008, Isometricheskie poliedralnye podgrafy vгиперкубах и кубических решетках. М.: МЦНМО, 2007.gipercubach i cubicheskich reshetkach [Scale-Isometric Polytopal Graphs in Hypercubes andЕмеличев В. А., Ковалёв М. М., Кравцов М. К. Многогранники. Графы. Оптимизация. М.:Cubic Lattices ], MCNMO, Мoskow.Наука, 1981.Emelichev V. А., Kovalev M. M., Kravzov M. K. 1981, Mnogogranniki. Grafi. Optimizacija.Cromwell P. R. Polyhedra. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1997.[Polyhedra. Graph. Optimization], Nauka, Мoskow.Grunbaum B. Regular polyhedra — old and new.// Aequationes mathematicae. 1977. Vol. 16,Cromwell P. R. 1997, Polyhedra, Cambridge University Press, Cambridge.№1-2. P.1-20.Grunbaum, B. 1977, “Regular polyhedra — old and new“, Aequationes mathematicae, vol. 16,Berman M. Regular-faced Convex Polyhedra, // Journal of The Franklin Institute. 1971. Vol.no.1-2, pp.1-20., №5. P.329-352.Berman M. 1971, “Regular-faced Convex Polyhedra“, Journal of The Franklin Institute , vol.Coxeter H. S. Regular and semi-regular polytopes. II, // Mathematische Zeitschrift. 1985. Vol., no.5, pp.329-352., №4. P.559–591.Coxeter H. S. 1985, “Regular and semi-regular polytopes. II“, Mathematische Zeitschrift, vol.Coxeter H. S. Regular and semi-regular polytopes. III, // Mathematische Zeitschrift. 1988. Vol., no.4, pp.559–591., №1. P.3–45.Coxeter H. S. 1988, “Regular and semi-regular polytopes. III“, Mathematische Zeitschrift, vol.Jurij Kovic. Centrally symmetric convex polyhedra with regular polygonal faces // Math., no.1, pp.3–45.Commun. 2013. Vol. 18. P. 429—440.Jurij Kovic. 2013, “Centrally symmetric convex polyhedra with regular polygonal faces“, Math.Piette B. M. A. G, Kowalczyk A, Heddle J. G. Characterization of near-miss connectivityinvariantCommun., vol. 18, pp. 429—440.homogeneous convex polyhedral cages // Proc. R. Soc., 2022, A 478:20210679.Piette B. M. A. G, Kowalczyk A, Heddle J. G. 2022,“Characterization of near-miss connectivityinvariantJohnson N. W. Convex polyhedra with regular faces // Can. J. Math. 1966. Vol. 18, №1. P.homogeneous convex polyhedral cages“, Proc. R. Soc., A 478:20210679.—200.Johnson N. W. 1966, “Convex polyhedra with regular faces“, Can. J. Math., vol. 18, №1, pp.Залгаллер В. А. Выпуклые многогранники с правильными гранями //Зап. научн. сем.—200.ЛОМИ. 1967. Т.2. С.1-220.Zalgaller V. А. 1967, “Convex polyhedra with regular faces“, Zapiski nauchnych seminarovTupelo-Schneck R. Convex regular-faced polyhedra with conditional edges [Electronic resource]LOMI, vol. 2, pp.1-220.// URL: http://tupelo-schneck.org/polyhedra (date of treatment: 29.12.2025).Tupelo-Schneck R. “Convex regular-faced polyhedra with conditional edges [Electronic resource]“,Tupelo-Schneck R. Regular-faced polyhedra [Electronic resource] // URL: https://tupeloschneck.http://tupelo-schneck.org/polyhedra (date of treatment: 29.12.2025).org/polyhedra/background.html. (date of treatment: 29.12.2025).Tupelo-Schneck R. “Regular-faced polyhedra [Electronic resource]“, https://tupelo-schneck.org/Subbotin V. I. On Two Classes of Polyhedra with Rhombic Vertices. // J. Math. Sci., 2020,polyhedra/background.html. (date of treatment: 29.12.2025).vol. 251, pp. 531—538.Subbotin V. I. 2020, “On two classes of polyhedra with rhombic vertices“, J. Math. Sci., vol. 251,Subbotin V. I. О перечислении выпуклых 𝑅𝑅-многогранников // Чебышевский сборник,pp. 531–538, том 24, вып. 5, с.194–207.Subbotin V. I. 2023, “On the enumeration of convex 𝑅𝑅-polytopes“, Chebyshevskiy sbornik,Subbotin V. I. On the Composite 𝑅𝑅-Polyhedra of the Second Type // Siberian Mathematicalvol.24, no.6, pp. 194–207.Journal, 2023, vol. 64, no. 2, pp. 500—506.Subbotin V. I. 2023, “On the Composite 𝑅𝑅-Polyhedra of the Second Type“, Siberian MathematicalСубботин В. И. О О существовании и перечислении 𝑅𝑅-многогранников // МатериалыJournal, vol. 64, no. 2, pp. 500—506.Омской Международной конференции по геометрии и её приложениям. Омск. 2025. С.153-Subbotin V. I. 2025, “On the existence and enumeration of 𝑅𝑅-polytopes“, Materialy megdunarodnoykonferencii “Omsskaja konferenciya po geometrii i ejo prilogeniyam“, Omsk, pp.153-155.konferencii “Omsskaja konferenciya po geometrii i ejo prilogeniyam“, Omsk, pp.153-155.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.