chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2026-27-1-4-18cheb-2181Research ArticleСтатьиArticleОб одновременном представлении чисел в виде суммы простых чиселOn the simultaneous representation of numbers as a sum of prime numbersАллаковИсмаилAllakovIsmail

доктор физико-математических наук, профессор

doctor of physical and mathematical sciences, professor

iallakov@mail.ruЭрдоновБекмурод Холбой углиErdonovBekmurod Kholboy ugli

доктор философии (PhD) по физико-математическимнаукам

doctor of philosophy (PhD) in physical and mathematical sciences

bekmurod.erdonov@mail.ruИмамовОйбек ШаназаровичImamovOybek Shanazarovich

преподаватель

lecturer

oybekimamov000@gmail.comТермезский государственный университетУзбекистанTermez State UniversityUzbekistanТермезский университет экономики и сервисаУзбекистанTermez University of Economics and ServiceUzbekistan202615042026271418Copyright © Аллаков И., Эрдонов Б.Х., Имамов О.Ш., 20262026Аллаков И., Эрдонов Б.Х., Имамов О.Ш.Allakov I., Erdonov B.K., Imamov O.S.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/2181

В работе получены оценки: для количества натуральных чисел 1 ⩽ 𝑏1, 𝑏2, ..., 𝑏𝑠 ⩽ 𝑋, удовлетворяющих условиям конгруэнц-разрешимости и положительной разрешимости;для исключительного множества в задаче об одновременном представлении 𝑠 чисел 𝑏1, 𝑏2, ..., 𝑏𝑠 в виде суммы 𝑚 (𝑠 < 𝑚 ⩽ 2𝑠) простых чисел, а также новая оценка снизу для чисел представлений 𝑏1, 𝑏2, ..., 𝑏𝑠 в указанном виде.

In the paper, we estimate the cardinality of the set of positive integers 1 ⩽ 𝑏1, 𝑏2, . . . , 𝑏𝑠 ⩽ 𝑋 satisfying to the conditions of congruent-solvability and positive solvability, and of the exceptional set in the problem of simultaneous representation of 𝑠 numbers 𝑏1, 𝑏2, . . . , 𝑏𝑠 the sums of 𝑚(𝑠 < 𝑚 < 2𝑠) primes. We also obtain a new lower estimate for the number of such representations.

система линейных уравненийасимптотическая формуластепенная оценкаконгруэнц-разрешимостьположительная разрешимостьхарактер Дирихлеглавный характер Дирихле𝐿−функция Дирихлеисключительный характерисключительный нульфункция Мангольдтамалые дугибольшие дугисингулярный рядсингулярный интеграл.system of linear equationsasymptotic formulapower estimatecongruent solvabilitypositive solvabilityDirichlet characterprincipal Dirichlet characterDirichlet 𝐿−functionexceptional characterexceptional zeroMangoldt functionminor arcsmajor arcs„ singular seriessingular integral.ReferencesWu Fang. On the solutions of the systems of linear equations with prime variables. Acta Math.Sinica. 1957. № 7. pp. 102-121.Wu Fang. 1957. “On the solutions of the systems of linear equations with prime variables”, Acta Math.Sinica., № 7. pp. 102-121.Liu M. C., Tsang K. M. On pairs of linear equations in three prime variables and an application to Goldbach’s problem, J. reine angew. Math. 1989. vol. 399. pp. 109-136.Liu M. C., Tsang K. M. 1989. “On pairs of linear equations in three prime variables and an application to Goldbach’s problem”, J. reine angew. Math., vol. 399. pp. 109-136.Liu M. C., Tsang K. M. Small prime solutions of linear equations. Proc. Intern. Number. Th. Conf. 1987. Laval University. Cand. Math. Soc. Berlin-New York. 1989. pp. 595-624.Liu M. C., Tsang K. M. 1989. “Small prime solutions of linear equations”, Proc. Intern. Number. Th. Conf. 1987. Laval University. Cand. Math. Soc. Berlin-New York., pp. 595–624.Аллаков И. Оценка тригонометрических сумм и их приложения к решению некоторых аддитивных задач теории чисел. – Термез: Сурхон нашр. 2021. 160 c.Allakov I. 2021. “Estimation of trigonometric sums and their applications to the solution of some additive problems in number theory”, Termez, Surxon nashr. 160 p.Аллаков И. Об условиях разрешимости системы линейных диофантовых уравнений в простых числах, Изв. вузов. Матем., 2006, № 9. с. 10-16.Allakov I. 2006. “On conditions for the solvability of a system of linear Diophantine equations in prime numbers”, Iz. VUZ. Mat., № 9. pp. 10–16.Аллаков И., Исраилов М. И. О разрешимости системы линейных уравнений в простых числах. Докл. АН РУз. –Ташкент, 1992. - № 10-11. c. 12-15.Allakov I., Israilov M.I. 1992. “On the solvability of a system of linear equations in prime numbers”, Dokl. AN RUz. Tashkent, № 10-11. pp. 12–15.Хуа Ло-Кен. Аддитивная теория простых чисел, Тр. Матем. ин-та им. В.А.Стеклова, 1947, том 22, с. 3-179.Hua Lo-Ken. 1947. “Additive prime number theory”, Tr. Math. Institute named after V.A. Steklova, vol.22. pp. 3–179.Abrayev B.Kh., Allakov I. On solvability conditions of a pair of linear equations with four unknowns in prime numbers. Uzbek Mathematical journal. Tashkent. 2020. № 3. pp. 16-24.Abrayev B.Kh., Allakov I. 2020. “On solvability conditions of a pair of linear equations with four unknowns in prime numbers”, Uzbek Mathematical journal. Tashkent, № 3. pp. 16–24.Аллаков И., Абраев Б.Х. Об исключительном множестве одной системы линейных уравнений с простыми числами. Чебышевский сборник т.24 №2. 2023. c.15-37.Allakov I., Abrayev B.Kh. 2023. “On the exceptional set of one system of linear equations with prime numbers”, Chebyshevskii Sbornik, vol.24, № 2. pp. 15–37.Аллаков И., Эрдонов Б.Х. Об одновременном представлении чисел суммой пяти простых чисел. Чебышевский сборник т.25 №3. 2024. c.11-36.Allakov I., Erdonov B.Kh. 2024. “On the simultaneous representation of numbers by the sum of five prime numbers”, Chebyshevskii Sbornik, vol.25, № 3. pp. 11–36.Allakov I., Erdonov B. On the simultaneous representation of three natural numbers by the sum of prime numbers. Bull. Inst. Math. 2025. Vol.8. No 2. pp. 1-23.Allakov, I., Erdonov, B. 2025, “On the simultaneous representation of three natural numbers by the sum of prime numbers”, Bull. Inst. Math., Vol.8, № 2, pp. 1-23.Эрдонов Б.Х. О сходимости сингулярного ряда в задаче o представлении натуральных чисел в виде суммы простых чисел. Научный вестник СамГУ, 2024. №5. с. 42-51.Erdonov B.Kh. 2024. “On the convergence of the singular series in the problem of representing natural numbers as a sum of prime numbers". Scientific bulletin of SamSU, № 5. pp. 42–51.Карацуба А.А. Основы аналитической теории чисел. Москва, Наука, 1983. 240 с.Karatsuba A.A. 1983. “Fundamentals of analytic number theory”, Moscow, Nauka. 240 p.Davenport H. Multiplicative number theory. Third edition. Springer. 2000. 177 p.Davenport H. 2000. “Multiplicative number theory. Third edition”, Springer. 177 p.Аллаков И., Музропова Н., Джураева З. Об оценке суммы Раманауджана. Материалы международной конференции «Современные проблемы математики» посвящённой 50-летию Института математики им. А.Джураева Национальной академии наук Таджикистана, Душанбе, 2023. с. 22-23.Allakov I., Muzropova N., Juraeva Z. 2023. “On estimating the Ramanaujan sum”, Proceedings of the international conference "Modern Problems of Mathematics"dedicated to the 50th anniversary of the A. Juraev Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Tajikistan, Dushanbe. pp. 22-23.Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. Главная редакция физико-математической литературы изд-ва ≪Наука≫, М., 1976 г. 543 с.Kolmogorov A.N., Fomin S.V. 1976. “Elements of the theory of functions and functional analysis”, Moscow, Nauka. 543 p.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.