Department of Mathematics
Некоторые хорошо известные классические результаты, относящиеся к описанию целочисленных представлений конечных групп над дедекиндовыми кольцами R, в частности, для колец целых чисел Z и p-адических чисел Zp и максимальных порядков локальных полей и полей алгебраических чисел берут начало в классических работах С. С. Рышкова, П. М. Гу- дивка, А. В. Ройтера, А. В. Яковлева, В. Плескена. Для их явного опи- сания важно найти матричные реализаций представлений, и один из возможных подходов состоит в описании максимальных конечных подгрупп GLn(R) над дедекиндовым кольцом R при фиксированном натуральном n. Основная идея, лежащая в основе геометрического подхода, была приведена в работах С. С. Рышкова по вычислению конечных подгрупп из GLn(Z) и дальнейших работах М. Поста и В. Плескена. Тем не менее, было неясно, что происходит при расширении дедекиндова кольца R в общем случае, и в случаях представлений произвольных p-групп, сверхразрешимых групп или групп заданного класса нильпотентности. В настоящей работе изучаются представления вышеуказанных классов групп, в частности, доказано, что при фиксированном n и любой заданной неабелевой p-группы G существует бесконечное число попарно неизоморфных абсолютно неприводимых представлений группы G. Комбинаторная конструкция серии этих представлений получена в явном виде. В настоящей работе построена бесконечная цепочка целочисленных попарно неэквивалентных абсолютно неприводимых представлений конечных p-групп с дополнительными условиями сравнимости по модулю дивизоров простого числа p. Мы рассматриваем некоторые связанные нашей конструкцией вопросы, включая задачи погружения в теории Галуа для локальных точных примитивных представлений сверхразрешимых групп и целочисленные представления, возникающие из эллиптических кривых.
Some well-known classical results related to the description of integral representations of finite groups over Dedekind rings R, especially for the rings of integers Z and p-adic integers Zp and maximal orders of local fields and fields of algebraic numbers go back to classical papers by S. S. Ryshkov, P. M. Gudivok, A. V. Roiter, A. V. Yakovlev, W. Plesken. For giving an explicit description it is important to find matrix realizations of the representations, and one of the possible approaches is to describe maximal finite subgroups of GLn(R) over Dedekind rings R for a fixed positive integer n. The basic idea underlying a geometric approach was given in Ryshkov’s papers on the computation of the finite subgroups of GLn(Z) and further works by W. Plesken and M. Pohst. However, it was not clear, what happens under the extension of the Dedekind rings R in general, and in what way the representations of arbitrary p-groups, supersolvable groups or groups of a given nilpotency class can be approached. In the present paper the above classes of groups are treated, in particular, it is proven that for a fixed n and any given nonabelian p-group G there is an infinite number of pairwise non-isomorphic absolutely irreducible representations of the group G. A combinatorial construction of the series of these representations is given explicitly. In the present paper an infinite series of integral pairwise inequivalent absolutely irreducible representations of finite p-groups with the extra congruence conditions is constructed. We consider certain related questions including the embedding problem in Galois theory for local faithful primitive representations of supersolvable groups and integral representations arising from elliptic curves.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.