chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2015-16-3-276-284cheb-213Research ArticleСтатьиArticleСВОБОДНЫЕ КОММУТАТИВНЫЕ g-ДИМОНОИДЫFREE COMMUTATIVE g-DIMONOIDSЖучокА. В.ZhuchokA. V.

Кафедра алгебры и системного анализа

 

Department of Algebra and System Analysis

zhuchok_a@mail.ruЖучокЮ. В.ZhuchokYu. V.

Кафедра алгебры и системного анализа

Department of Algebra and System Analysis

yulia.mih@mail.ruЛуганский национальный университет имени Тараса Шевченко, Украина.УкраинаLuhansk Taras Shevchenko National UniversityUkraine201506072016163276284Copyright © Жучок А.В., Жучок Ю.В., 20162016Жучок А.В., Жучок Ю.В.Zhuchok A.V., Zhuchok Y.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/213

Диалгеброй называется векторное пространство, снабжённое двумя би- нарными операциями ⊣ и ⊢, удовлетворяющими следующим аксиомам: (D1) (x ⊣ y) ⊣ z = x ⊣ (y ⊣ z), (D2) (x ⊣ y) ⊣ z = x ⊣ (y ⊢ z), (D3) (x ⊢ y) ⊣ z = x ⊢ (y ⊣ z), (D4) (x ⊣ y) ⊢ z = x ⊢ (y ⊢ z), (D5) (x ⊢ y) ⊢ z = x ⊢ (y ⊢ z). Это понятие было введено Лодэ во время изучения феномена периодичности в алгебраической K-теории. Алгебры Лейбница являются некоммутативной версией алгебр Ли, а диалгебры – версией ассоциативных ал- гебр. Напомним, что любая ассоциативная алгебра даёт алгебру Ли, если положить [x, y] = xy −yx. Диалгебры связаны с алгебрами Лейбница аналогично тому как связаны между собой ассоциативные алгебры и алгебры Ли. Диалгебра является линейным аналогом димоноида. Если операции димоноида совпадают, то он превращается в полугруппу. Таким образом, димоноиды обобщают полугруппы. Пожидаев и Колесников рассмотрели понятие 0-диалгебры, то есть векторного пространства, снабжённого двумя бинарными операциями ⊣ и ⊢, удовлетворяющими аксиомам (D2) и (D4). Это понятие имеет связи с алгебрами Рота-Бакстера, а именно известна структура алгебр Рота- Бакстера, возникающих на 0-диалгебрах. Понятие ассоциативной 0-диалгебры, то есть 0-диалгебры с двумя бинарными операциями ⊣ и ⊢, удовлетворяющими аксиомам (D1) и (D5), является линейным аналогом понятия g-димоноида. Для того, чтобы получить g-димоноид, мы должны опустить аксиому (D3) внутренней ассоциативности в определении димоноида. Аксиомы димоноида и g-димоноида появляются в тождествах триалгебр и триоидов, введенных Лодэ и Ронко. Класс всех g-димоноидов образует многообразие. Строение свободных g-димоноидов и свободных n-нильпотентных g-димоноидов было описано в статье второго автора. Класс всех коммутативных g-димоноидов, то есть g-димоноидов с коммутативными операциями, образует подмногообразие многообразия g-димоноидов. Свободный димоноид в многообразии коммутативных димоноидов был построен в статье первого автора. В этой статье мы строим свободный коммутативный g-димоноид, а также описываем наименьшую коммутативную конгруэнцию на свободном g-димоноиде.

 

A dialgebra is a vector space equipped with two binary operations ⊣ and ⊢ satisfying the following axioms: (D1) (x ⊣ y) ⊣ z = x ⊣ (y ⊣ z), (D2) (x ⊣ y) ⊣ z = x ⊣ (y ⊢ z), (D3) (x ⊢ y) ⊣ z = x ⊢ (y ⊣ z), (D4) (x ⊣ y) ⊢ z = x ⊢ (y ⊢ z), (D5) (x ⊢ y) ⊢ z = x ⊢ (y ⊢ z). This notion was introduced by Loday while studying periodicity phenomena in algebraic K-theory. Leibniz algebras are a non-commutative variation of Lie algebras and dialgebras are a variation of associative algebras. Recall that any associative algebra gives rise to a Lie algebra by [x, y] = xy−yx. Dialgebras are related to Leibniz algebras in a way similar to the relationship between associative algebras and Lie algebras. A dialgebra is just a linear analog of a dimonoid. If operations of a dimonoid coincide, the dimonoid becomes a semigroup. So, dimonoids are a generalization of semigroups. Pozhidaev and Kolesnikov considered the notion of a 0-dialgebra, that is, a vector space equipped with two binary operations ⊣ and ⊢ satisfying the axioms (D2) and (D4). This notion have relationships with Rota-Baxter algebras, namely, the structure of Rota-Baxter algebras appearing on 0-dialgebras is known. The notion of an associative 0-dialgebra, that is, a 0-dialgebra with two binary operations ⊣ and ⊢ satisfying the axioms (D1) and (D5), is a linear analog of the notion of a g-dimonoid. In order to obtain a g-dimonoid, we should omit the axiom (D3) of inner associativity in the definition of a dimonoid. Axioms of a dimonoid and of a g-dimonoid appear in defining identities of trialgebras and of trioids introduced by Loday and Ronco. The class of all g-dimonoids forms a variety. In the paper of the second author the structure of free g-dimonoids and free n-nilpotent g-dimonoids was given. The class of all commutative g-dimonoids, that is, g-dimonoids with commutative operations, forms a subvariety of the variety of g-dimonoids. The free dimonoid in the variety of commutative dimonoids was constructed in the paper of the first author. In this paper we construct a free commutative g-dimonoid and describe the least commutative congruence on a free g-dimonoid.

 

димоноидg-димоноидкоммутативный g-димоноидсвободный коммутативный g-димоноидполугруппаконгруэнцияdimonoidg-dimonoidcommutative g-dimonoidfree commutative g-dimonoidsemigroupcongruenceReferencesPozhidaev A. P. 0-dialgebras with bar-unity and nonassociative Rota-Baxter algebras // Sib. Math. J. 2009. Vol. 50, no. 6. P. 1070–1080.Pozhidaev, A. P. 2009, “0-dialgebras with bar-unity and nonassociative RotaBaxter algebras”, Sib. Math. J., vol. 50, no. 6, pp. 1070–1080.Kolesnikov P. S. Varieties of dialgebras and conformal algebras // Sib. Math. J. 2008. Vol. 49, no. 2. P. 257–272.Kolesnikov, P. S. 2008, “Varieties of dialgebras and conformal algebras”, Sib. Math. J., vol. 49, no. 2, pp. 257–272.Loday J.-L. Dialgebras. In: Dialgebras and related operads // Lecture Notes in Math. Berlin: Springer-Verlag. 2001. Vol. 1763. P. 7–66.Loday, J.-L. 2001, “Dialgebras. In: Dialgebras and related operads”, Lecture Notes in Math., Berlin: Springer-Verlag, vol. 1763, pp. 7–66.Frabetti A. Dialgebra (co)homology with coefficients. In: Dialgebras and related operads // Lecture Notes in Math. Berlin: Springer-Verlag. 2001. Vol. 1763. P. 67–103.Frabetti, A. 2001, “Dialgebra (co)homology with coefficients. In: Dialgebras and related operads”, Lecture Notes in Math., Berlin: Springer-Verlag, vol. 1763, pp. 67–103.Bokut L. A., Chen Y., Liu C. Gr¨obner-Shirshov bases for dialgebras // Int. J. Algebra Comput. 2010. Vol. 20, no. 3. P. 391–415.Bokut, L. A., Chen, Y. & Liu, C. 2010, “Gr¨obner-Shirshov bases for dialgebras”, Int. J. Algebra Comput., vol. 20, no. 3, pp. 391–415.Kolesnikov P. S., Voronin V. Yu. On the special identities for dialgebras // Linear and Multilinear Algebra. 2013. Vol. 61, no. 3. P. 377–391.Kolesnikov, P. S. & Voronin, V. Yu. 2013, “On the special identities for dialgebras”, Linear and Multilinear Algebra, vol. 61, no. 3, pp. 377–391.Zhuchok A. V. Dimonoids // Algebra and Logic. 2011. Vol. 50, no. 4. P. 323–340.Zhuchok, A. V. 2011, “Dimonoids”, Algebra and Logic, vol. 50, no. 4, pp. 323– 340.Movsisyan Y., Davidov S., Safaryan Mh. Construction of free g-dimonoids // Algebra and Discrete Math. 2014. Vol. 18, no. 1. P. 138–148.Movsisyan, Y., Davidov, S. & Safaryan, Mh. 2014, “Construction of free g-dimonoids”, Algebra and Discrete Math., vol. 18, no. 1, pp. 138–148.Zhuchok Yul. V. On one class of algebras // Algebra and Discrete Math. 2014. Vol. 18, no. 2. P. 306–320.Zhuchok, Yul. V. 2014, “On one class of algebras”, Algebra and Discrete Math., vol. 18, no. 2, pp. 306–320.Loday J.-L., Ronco M. O. Trialgebras and families of polytopes // Contemp. Math. 2004. Vol. 346. P. 369–398.Loday, J.-L. & Ronco, M. O. 2004, “Trialgebras and families of polytopes”, Contemp. Math., vol. 346, pp. 369–398.Casas J. M. Trialgebras and Leibniz 3-algebras // Bolet´ın de la Sociedad Matem´atica Mexicana. 2006. Vol. 12, no. 2. P. 165–178.Casas, J. M. 2006, “Trialgebras and Leibniz 3-algebras”, Bolet´ın de la Sociedad Matem´atica Mexicana, vol. 12, no. 2, pp. 165–178.Zhuchok A. V. Semiretractions of trioids // Ukr. Math. J. 2014. Vol. 66, no. 2. P. 218–231.Zhuchok, A. V. 2014, “Semiretractions of trioids”, Ukr. Math. J., vol. 66, no. 2, pp. 218–231.Zhuchok A. V. Free commutative dimonoids // Algebra and Discrete Math. 2010. Vol. 9, no. 1. P. 109–119.Zhuchok, A. V. 2010, “Free commutative dimonoids”, Algebra and Discrete Math., vol. 9, no. 1, pp. 109–119.Жучок А. В. Елементи теорiї дiмоноїдiв // Математика та її застосування. Працi Iнституту математики НАН України, Київ. 2014. Т. 98. 304 с.Zhuchok, A. V. 2014, “Elements of dimonoid theory”, Mathematics and its Applications. Proceedings of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine, Kiev, vol. 98, 304 p. (in Ukrainian).Zhuchok A. V. Semilattices of subdimonoids // Asian-Eur. J. Math. 2011. Vol. 4, no. 2. P. 359–371.Zhuchok, A. V. 2011, “Semilattices of subdimonoids”, Asian-Eur. J. Math., vol. 4, no. 2, pp. 359–371.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.