chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2025-26-5-184-202cheb-2129Research ArticleСтатьиArticleОбобщённая проблема Эстермана для нецелых степеней с почти пропорциональными слагаемымиGeneralized Estermann problem for non-integer powers with almost proportional summandsРахмоновФируз ЗаруллоевичRakhmonovFiruz Zarulloevich

кандидат физико-математических наук

candidate of physical and mathematical sciences

rakhmonov.firuz@gmail.comРахмоновПарвиз ЗаруллоевичRakhmonovParviz Zarulloevich

кандидат физико-математических наук

candidate of physical and mathematical sciences

parviz.msu@gmail.comИнститут математики им. А. Джураева НАН ТаджикистанаРоссияA. Juraev Institute of Mathematics of the NAS of TajikistanRussian FederationMarex Group PlcВеликобританияMarex Group PlcUnited Kingdom202521012026265184202Copyright © Рахмонов Ф.З., Рахмонов П.З., 20262026Рахмонов Ф.З., Рахмонов П.З.Rakhmonov F.Z., Rakhmonov P.Z.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/2129

При 𝐻 ⩾ 𝑁^(1− 1/2𝑐 ) (ln𝑁)^2, где L = ln𝑁, а 𝑐 — нецелое фиксированное число, удовлетворяющее условиям 

получена асимптотическая формула для количества представлений достаточно большогонатурального числа 𝑁 в виде

где 𝑝1, 𝑝2 — простые числа, 𝑛 — натуральное число,

𝜇1, 𝜇2, 𝜇3 — положительные фиксированные числа, причём 𝜇1 + 𝜇2 + 𝜇3 = 1.

For 𝐻 ⩾ 𝑁1−^(1/2𝑐) (ln𝑁)^2, where L = ln𝑁 and 𝑐 is a fixed non-integer number satisfying

we obtain an asymptotic formula for the number of representations of a sufficiently large integer 𝑁 in the form

where 𝑝1, 𝑝2 are prime numbers, 𝑛 is a natural number, and

with 𝜇1, 𝜇2, 𝜇3 being fixed positive constants satisfying 𝜇1 + 𝜇2 + 𝜇3 = 1.

проблема Эстерманапочти пропорциональные слагаемыекороткая тригонометрическая сумма с нецелой степенью натурального числа.Estermann problemalmost proportional summandsshort exponential sum with a non-integer power of a natural number.ReferencesEstermann T. Proof that every large integer is the sum of two primes and square // Proc. London math.Soc. 1937. V. 11. P. 501–516.Estermann, T., 1937, “Proof that every large integer is the sum of two primes and a square”, Proc. London Math. Soc., vol. 11, pp. 501–516.Рахмонов З. Х. Тернарная задача Эстермана с почти равными слагаемыми // Математические заметки. 2003. Т. 74. вып. 4. С. 564 – 572.Rakhmonov, Z. Kh., 2003, “Ternary Estermann problem with almost equal summands”, Matematicheskie Zametki (Mathematical Notes), vol. 74, Is. 4, pp. 564–572, (in Russian).Рахмонов З. Х. Кубическая задача Эстермана с почти равными слагаемыми // Математические заметки. 2014. Т. 95. вып. 3. С. 445 – 456.Rakhmonov, Z. Kh., 2014, “Cubic Estermann problem with almost equal summands”, Matematicheskie Zametki (Mathematical Notes), vol. 95, Is. 3, pp. 445–456, (in Russian).Рахмонов Ф. З., Рахимов А. О. Об одной аддитивной задаче с почти равными слагаемыми // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам. Издательство: Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского. ISSN: 1810-4134. 2016. № 8. С. 87 – 89.Rakhmonov, F. Z., Rahimov, A. O., 2016, “On an additive problem with almost equal summands”, Research in Algebra, Number Theory, Functional Analysis and Related Topics, Saratov National Research State University, vol. 8, pp. 87–89, (in Russian).Рахмонов Ф З. Асимптотическая формула в обобщении тернарной проблемы Эстермана с почти пропорциональными слагаемыми // Чебышевский сборник. 2024. Т. 25, № 4(95). С. 120 – 137.Rakhmonov, F. Z., 2024, “Asymptotic formula in the generalization of ternary Estermann problem with almost proportional summands”, Chebyshevskii Sbornik, vol. 25, Is. 4(95), pp. 120–137, (in Russian).Рахмонов З. Х., Рахмонов Ф З. Асимптотическая формула в проблеме Варинга с почти пропорциональными слагаемыми // Чебышевский сборник. 2024. Т. 25. № 2(93). С. 139-168.Rakhmonov, Z. Kh., Rakhmonov, F. Z., 2024, “Asymptotic formula in Waring’s problem with almost proportional summands”, Chebyshevskii Sbornik, vol. 25, Is. 2(93), pp. 139–168, (in Russian).Рахмонов З.Х., Рахмонов Ф.З. Асимптотическая формула в проблеме Варинга с почти пропорциональными слагаемыми // Доклады Национальной академии наук Таджикистана. 2024. Т. 67. № 3-4. С. 125-136.Rakhmonov, Z. Kh., Rakhmonov, F. Z., 2024, “Asymptotic formula in Waring’s problem with almost proportional summands”, Doklady Natsional’noy Akademii Nauk Tadzhikistana, vol. 67, Is. 3-4, pp. 125–136, (in Russian).Рахмонов З.Х., Рахмонов Ф.З. Проблема Варинга с почти пропорциональными слагаемыми // Доклады Национальной академии наук Таджикистана. 2023. Т. 66. № 9-10. С. 481-488.Rakhmonov, Z. Kh., Rakhmonov, F. Z., 2023, “Waring’s problem with almost proportional summands”, Doklady Natsional’noy Akademii Nauk Tadzhikistana, vol. 66, Is. 9-10, pp. 481–488, (in Russian).Рахмонов З.Х., Рахмонов Ф.З. Поведениe коротких тригонометрических сумм Г.Вейля в больших дугах // Доклады Национальной академии наук Таджикистана. 2023. Т. 66. № 11-12. С. 625-633.Rakhmonov, Z. Kh., Rakhmonov, F. Z., 2023, “Behaviour of short G. Weyl exponential sums on major arcs”, Doklady Natsional’noy Akademii Nauk Tadzhikistana, vol. 66, Is. 11-12, pp. 625–633, (in Russian).Рахмонов З. Х. Обобщение проблемы Варинга для девяти почти пропорциональных кубов // Чебышевский сборник. 2023. Т. 24. № 3. С. 71-94Rakhmonov, Z. Kh., 2023, “Generalization of Waring’s problem for nine almost proportional cubes”, Chebyshevskii Sbornik, vol. 24, Is. 3, pp. 71–94, (in Russian).Рахмонов П. З. Короткие тригонометрические суммы с нецелой степенью натурального числа // Вестн. Моск. ун-та. сер.1, математика. механика. 2012. № 6. C. 51 – 55.Rakhmonov, P. Z., 2012, “Short trigonometric sums with a non-integer power of a natural number”, Vestnik Moskovskogo Universiteta. Seriya 1. Matematika. Mekhanika, Is. 6, pp. 51–55, (in Russian).Рахмонов П. З. Короткие тригонометрические суммы с нецелой степенью натурального числа // Доклады Академии наук Республики Таджикистан. 2012. Т. 55. № 3. C 185 – 191.Rakhmonov, P. Z., 2012, “Short trigonometric sums with a non-integer power of a natural number”, Doklady Akademii Nauk Respubliki Tadzhikistan, vol. 55, Is. 3, pp. 185–191, (in Russian).Рахмонов П. З. Короткие суммы с нецелой степенью натурального числа // Математические заметки. 2014. Т. 95. Вып. :5. С. 763 – 774.Rakhmonov, P. Z., 2014, “Short sums with non-integer powers of natural numbers”, Matematicheskie Zametki (Mathematical Notes), vol. 95, Is. 5, pp. 763–774, (in Russian).Рахмонов П. З. Обобщенная тернарная проблема Эстермана для нецелых степеней с почти равными слагаемыми // Математические заметки. 2016. Т. 100. Вып. :3. С. 410 – 420.Rakhmonov, P. Z., 2016, “Generalized ternary Estermann problem for non-integer powers with almost equal summands”, Matematicheskie Zametki (Mathematical Notes), vol. 100, Is. 3, pp. 410–420, (in Russian).Рахмонов П. З. Обобщённая тернарная проблема Эстермана для нецелых степеней с почти равными слагаемыми // Чебышевский сборник. 2015. Т. 16, № 1. С. 248 – 253.Rakhmonov, P. Z., 2015, “Generalized ternary Estermann problem for non-integer powers with almost equal summands”, Chebyshevskii Sbornik, vol. 16, Is. 1, pp. 248–253, (in Russian).Рахмонов П. З. Обобщённая тернарная проблема Эстермана для нецелых степеней с почти равными слагаемыми // Известия Академии наук Республики Таджикистан. Отделение физико-математических, химических, геологических и тенических наук. 2013. № 2(151).Rakhmonov, P. Z., 2013, “Generalized ternary Estermann problem for non-integer powers with almost equal summands”, Izvestiya Akademii Nauk Respubliki Tadzhikistan, No. 2(151), pp. 7–16, (in Russian).С. 7 – 16.Karatsuba, A. A., 1983, Basic analytic number theory, Moscow: Nauka, 2nd ed., (in Russian).Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел // М. Наука. 2-ое изд. 1983.Zhan, T., 1992, “On the mean square of Dirichlet 𝐿-functions”, Acta Mathematica Sinica. New Series, vol. 8, No. 2, pp. 204–224.Zhan Tao On the Mean Square of Dirichlet 𝐿-Functions // Acta Mathematica Sinica. New Series. 1992. V. 8. № 2. P. 204 — 224.Baker, R., Harman, G., 1996, “The difference between consecutive primes”, Proc. London Math. Soc., vol. 72, pp. 261–280.Baker R., Harman G. The difference between consecutive primes // Proc. London Math. Soc. 1996. V. 72. P. 261 – 280.Voronin, S. M., Karatsuba, A. A., 1994, Riemann zeta-function, Moscow: Fizmatlit, 376 pp., (in Russian).Воронин С. М., Карацуба А. А. Дзета–функция Римана // М.: Физматлит. 1994. 376 с.Whittaker, E. T., Watson, G. N., 1963, A Course of Modern Analysis, Vol. 1: Fundamental Operations of Analysis, Moscow: Fizmatgiz, (in Russian).Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа. ч. 1. Основные операции анализа // М.: Физматгиз. 1963.Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа. ч. 1. Основные операции анализа // М.: Физматгиз. 1963.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.