кандидат физико-математических наук
candidate of physical and mathematical sciences
аспирант
postgraduate student
Настоящая работа посвящена исследованию особенностей операторов Нийенхейса —фундаментальных объектов нийенхейсовой геометрии. Хотя тензор Нийенхейса был введён Альбертом Нийенхейсом ещё в 1951 году, активное развитие эта область получила сравнительно недавно благодаря серии работ А.В. Болсинова, А.Ю. Коняева и В.С. Матвеева.В размерности два известна классификация линейных операторов Нийенхейса — операторов, действующих на линейном пространстве, компоненты которых линейно зависят от координат. Существует важное взаимно однозначное соответствие между линейными операторами Нийенхейса и левосимметрическими алгебрами, что делает их классификацию эквивалентной задачей.Несмотря на кажущуюся простоту, задача остаётся сложной даже для малых размер-ностей и может быть решена лишь при определённых дополнительных ограничениях. В данной работе исследуются трёхмерные линейные операторы Нийенхейса (или, что то же самое, трёхмерные левосимметрические алгебры) при условии функциональной независимости коэффициентов характеристического многочлена. Полная классификация операторов с таким дополнительным условием была получена недавно, и дает список из восьми операторов.Основной целью данной статьи является изучение особенностей таких операторов. Особой точкой называется точка, в любой окрестности которой изменяется алгебраический тип оператора (жорданова нормальная форма). В работе определены особые точки для рассматриваемого класса операторов Нийенхейса и построены их множества в трехмерном пространстве.
This work is devoted to the study of singularities of Nijenhuis operators – fundamentalobjects of Nijenhuis geometry. Although the Nijenhuis tensor was introduced by AlbertNijenhuis back in 1951, this field received active development relatively recently thanks toa series of works by A.V. Bolsinov, A.Yu. Konyaev, and V.S. Matveev.In dimension two, the classification of linear Nijenhuis operators, operators acting on alinear space, whose components linearly depend on coordinates, is known. There exists animportant one-to-one correspondence between linear Nijenhuis operators and left-symmetric algebras, which makes their classification an equivalent problem.Despite its apparent simplicity, the problem remains challenging even for small dimensionsand can be solved only under certain additional constraints. This paper investigates threedimensional linear Nijenhuis operators (or, equivalently, three-dimensional left-symmetric algebras) under the condition of functional independence of the characteristic polynomial coefficients. A complete classification of operators with this additional condition was recently obtained, yielding a list of eight operators.The main objective of this paper is to study the singularities of such operators. A singularpoint is defined as a point in any neighbourhood of which the algebraic type of the operator (Jordan normal form) changes. The paper determines singular points for the considered class of Nijenhuis operators and constructs their sets in three-dimensional space.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.