chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2025-26-5-53-72cheb-2121Research ArticleСтатьиArticleО сумме квадратов четырёх простых чисел из арифметической прогрессииOn the sum of the squares of four prime numbers from the arithmetic progressionАллаковИсмаилAllakovIsmail

доктор физико-математических наук, профессор

doctor of physical and mathematical sciences, professor

iallakov@mail.ruИмамовОйбек ШаназаровичImamovOybek Shanazarovich

базовый докторант

basic doctoral student

oybekimamov000@gmail.comТермезский государственный университетУзбекистанTermez State UniversityUzbekistan2025210120262655372Copyright © Аллаков И., Имамов О.Ш., 20262026Аллаков И., Имамов О.Ш.Allakov I., Imamov O.S.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/2121

В работе изучается задача о представлении натурального числа 𝑛 в виде суммы квадратов четырёх простых чисел из арифметической прогрессии. Оценено, количество натуральных чисел, которые нельзя представить в указанном виде, т.е. исключительное множество задачи. Также впервые получена оценка снизу для количества представлений данного не исключительного 𝑛 в указанном виде.

The work studies the problem of representing the natural number 𝑛 as the sum of the squaresof four prime numbers from an arithmetic progression. The number of natural numbers thatcannot be represented in the specified form has been estimated, i.e. the exceptional set of theproblem, is estimated.. Also, for the first time, a lower estimate was obtained for the numberof representations of a given non-exceptional 𝑛 in the indicated form.

диофантово уравнениеконгруэнтразрешимостьположительная разрешимостьисключительный нуль𝐿-функция Дирихлесимвол Лежандрамалая дугабольшая дугаособый рядособый интеграл.diophantine equationcongruent solutionpositive solutionexceptional zeroDirichlet 𝐿-functionLegendre symbolminor arcmajor arcsingular seriessingular integral.ReferencesНестеренко, Ю.В. Теория чисел. М:Издательский центр Академия. 2008. 272 с.Nesterenko, Yu. V. 2008. Number Theory. Moscow: Publishing Center "Akademiya 272 p.Хуа Ло-Кен. Аддитивная теория простых чисел.// Тр. Матем. ин-та им. В.А.Стеклова, 1947, том 22, с. 3-179.Hua Lo-Ken. 1947. Additive prime number theory.// Tr. Math. Institute named after V.A. Steklova, vol.22. pp. 3–179.Jianya Liu va Ming-Chit Liu. The exceptional set in the four prime squares problem. // Illinois journal of mathematics. 2000, Vol. 44, № 2, pp.272-293.Jianya Liu va Ming-Chit Liu. 2000. The exceptional set in the four prime squares problem.// Illinois journal of mathematics. V. 44, № 2,Wang, Y. Numbers representable by five prime squares with primes in an arithmetic progression. // Acta Arithmetica. 1999, Vol.90, № 3, pp.217–244.Wang, Y. 1999. Numbers representable by five prime squares with primes in an arithmetic progression.// Acta Arithmetica, Vol.90, № 3, pp.217–244.Allakov I., Imamov O. A lower estimate for the quantity of a natural number represented as a sum of five squared prime numbers from an arithmetic progression.// Bull. Inst. Math., 2024, Vol.7, № 4, pp. 86-93Allakov I., Imamov O.Sh. 2024. A lower estimate for the quantity of a natural number represented as a sum of five squared prime numbers from an arithmetic progression.// Bull. Inst. Math., Vol.7, №4, pp. 86-93Imamov O. On numbers representable as the sum of four squares of prime numbers. // Samarkand University Scientific Bulletin., 2025, № 1, pp.106-110Imamov O.Sh. 2025. On numbers representable as the sum of four squares of prime numbers.// Samarkand University Scientific Bulletin. № 1, pp.106-110Vaughan R.C.The Hardy-Littlewood method. Second edition. Cambridge University Press. 1997. 232 p.Vaughan R.C. 1997.The Hardy-Littlewood method. Second edition. Cambridge University Press.232 p.Виноградов И.М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. — М.: Наука, 1971.Vinogradov, I. M. 1971. The Method of Trigonometric Sums in Number Theory. Moscow: Nauka.Виноградов И.М. Особые варианты метода тригонометрических сумм. — М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1976.Vinogradov, I. M. 1976. Special Variants of the Method of Trigonometric Sums. Moscow: Nauka,Main Editorial Office for Physical and Mathematical Literature, (In Russian)Аллаков И., Музропова Н.С. О решении одного уравнения в простых числах.// Чебышевский сборник. 2024, том 25 № 4 с.5-26Allakov I., Muzropova N.S. 2024. The solution of some equation in primes. Chebyshevskii Sbornik. vol. 25 № 4 pp.5-26. (In Russ.)Карацуба, А.А. Основы аналитической теории чисел. -М.: Наука, 1983. -240 с.Karatsuba A.A. 1983. Fundamentals of analytic number theory , Moscow, Nauka. 240 p.(in Russian).Аллаков И. Оценка тригонометрических сумм и их приложения к решению некоторых аддитивных задач теории чисел. Термез. Изд. «Сурхан нашр» 2021. 160с.Allakov I. 2021. “Estimation of trigonometric sums and their applications to the solution of some additive problems in number theory”, Termez, Surxon nashr. 160 p.Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», М., 1976 г. 543 сKolmogorov A.N., Fomin S.V. 1976. “Elements of the theory of functions and functional analysis”, Moscow, Nauka. 543 p.Davenport H.Multiplicative number theory.Third edition.Springer. New York. 2000. 177pDavenport H. 2000. Multiplicative Number Theory. Third edition, Springer, 177 p.Liu M. C. and Tsang K. M. Small prime solutions of some additive equations.// Monatsh. Math. 1991 vol. 111 , pp. 147–169.Liu M. C. and Tsang K. M. 1991. Small prime solutions of some additive equations.// Monatsh. Math. vol. 111, pp. 147–169.Gallagher P. X. A large sieve density estimates near. // Invent. Math.1970 vol. 11, pp.329–339.Gallagher P. X. 1970. A large sieve density estimates near. // Invent. Math. vol. 11, pp.329–339.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.