chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2025-26-4-438-446cheb-2097Research ArticleКраткие сообщенияО средних тригонометрических сумм по решениям квадратичных сравненийOn the average trigonometric sums for solutions of quadratic comparisonsБыковскийВиктор АлексеевичBykovskiiViktor Alexeevich

доктор физико-математических наук, профессор

doctor of physical and mathematical sciences, professor

bykovskyva@tolstovsky.ruРеброваИрина ЮрьевнаRebrovaIrina Yur’evna

кандидат физико-математических наук

candidate of physical and mathematical sciences

rebrova@tolstovsky.ruТульский государственный педагогический университет им. Л. Н. ТолстогоРоссияTula State Lev Tolstoy Pedagogical UniversityRussian Federation202529122025264438446Copyright © Быковский В.А., Реброва И.Ю., 20252025Быковский В.А., Реброва И.Ю.Bykovskii V.A., Rebrova I.Y.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/2097

В 1963 году Хоули [1] (см. также [2]), опираясь на оценки средних тригонометрических сумм по решениям квадратичных сравнений, впервые доказал асимптотическую формулу для средних числа делителей квадратичного полинома со степенным понижением в остаточном члене. Позднее эти результаты были усилены в работах [3] и [4]. В настоящейработе мы доказываем более сильные результаты на эту тему.

In 1963, Hawley [1] (see also [2]), based on estimates of average trigonometric sums from solutions of quadratic comparisons, proved for the first time an asymptotic formula for the average number of divisors of a quadratic polynomial with a power-law decrease in the residual term. These results were later reinforced in [3] and [4]. In the present paper, we prove stronger results on this topic.

тригонометрические суммыквадратичные сравнения.trigonometric sumsquadratic comparisons.ReferencesHooley C. On the number of divisors of quadratic polinomials. Acta Math., 1963, V.110, № 1–2, p. 97–114.Hooley, C. 1963, “On the number of divisors of quadratic polynomials”, Acta Math., 110(1–2), 97–114.Hooley C. On the number of divisors of quadratic polinomials. Acta Math., 1963, V.110, № 1–2, p. 97–114 (Русский перевод: сб. Математика, 1968, 12:5, с. 3–18).Hooley, C. 1963, “On the number of divisors of quadratic polynomials”, Acta Math., 110(1–2), 97–114. (Russian translation: collection Mathematics, 1968, 12:5, pp. 3–18.)Быковский В. А. Ассимптотические свойства целых точек (𝑎1, 𝑎2), удовлетворяющих сравнению 𝑎1𝑎2 ≡ 𝑙(mod 𝑞). В кн.: Записки научных семинаров ЛОМИ. Л.: Наука, 1981, т. 112, с. 5–25.Bykovsky, V. A. 1981, “Asymptotic properties of integer points (𝑎1, 𝑎2) satisfying the relation 𝑎1𝑎2 ≡ 𝑙(mod 𝑞)”, In Notes of Scientific Seminars of LOMI, L.: Nauka, 112, pp. 5–25.Быковский В. А. Об одной формуле суммирования в спектральной теории автоморфных функций и ее применения в аналитической теории чисел. Докл. АН СССР, 1982, т. 264, № 2, с. 275–277.Bykovsky, V. A. 1982, “On a summation formula in the spectral theory of automorphic functions and its applications in analytic number theory”, Dokl. AN USSR, 264(2), pp. 275–277.Дирихле П. Лекции по теории чисел. М., Л., 1936, 404 с.Dirichlet, P. 1936, “Lectures on number theory”, M: Leningrad, 404 p.Bateman H., Erdelyi A. Higher transcendental functions. Vol. 1, 2, McGraw–Hill, — 1953. (Русский перевод: Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. т. 1 (1973), т. 2 (1974), М., Наука).Bateman, H., & Erdelyi, A. 1953, “Higher Transcendental Functions”, McGraw-Hill Book Company, Vol. 1, 2.Conroy B., Iwaniec H. The cubic moment of central values of automorphic L–functions. Ann. of Math. (2) 151 (2000), no. 3, p. 1175–1216.Conroy B., Iwaniec H. 2000, “The cubic moment of central values of automorphic L–functions”, Ann. of Math. (2) 151, no. 3, pp. 1175-1216.Liu S. and Hasri R. The average of the divisor function over values of quadratic polynomial. Proc. Amer. Math. Soc., 143, 2015, p. 4143–4160.Liu, S., & Hasri, R. 2015, “The average of the divisor function over values of quadratic polynomial”, Proc. Amer. Math. Soc., 143, pp. 4143–4160.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.