chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2025-26-4-398-418cheb-2094Research ArticleСтатьиArticleМатричная классификация двумерных алгебр над полем Z2Matrix classification of two-dimensional algebras over the field Z2ШариповДанила АлексеевичSharipovDanila Alekseevichthesharip@yandex.ruФинансовый университет при Правительстве Российской Федерации; Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»РоссияFinancial University under the Government of the Russian Federation; National Research University Higher School of EconomicsRussian Federation202529122025264398418Copyright © Шарипов Д.А., 20252025Шарипов Д.А.Sharipov D.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/2094

Исследуется задача нахождения орбит группы 𝐺𝐿(𝑉 ) на пространстве 𝐴𝑙𝑔(𝑉 ) всех билинейных отображений 𝑉 ×𝑉 → 𝑉. В работе рассматриваются только двумерные алгебрынад полем Z2 без использования методов теории инвариантов. Рассматривается классификация алгебр с новых позиций. Для выделения большого класса алгебр используется отображение 𝑃, которое естественно возникает как отображение 𝐴𝑙𝑔(𝑉 ) → 𝑉 * × 𝑉 *, сопоставляющее каждой структуре алгебры на пространстве 𝑉 пару линейных форм 𝑇𝑟1 и 𝑇𝑟2, задаваемых как следы операторов левого и правого умножения в этой алгебре. Изучено 𝜏 -действие группы 𝐺𝐿(2,Z2), состоящей из невырожденных квадратных матриц 𝑔, на множество MSC(A) — матрицы структурных констант. Данное действие в общем виде записывается как 𝜏 : (𝑔,MSC(A)) → 𝑔MSC(A)(𝑔−1)⊗2. Действие 𝜏 задаёт экви-валентность между матричными операторами двумерных алгебр и определяет структуру для описания орбит действия. Для данного действия было использовано 𝑃-отображение,которое имеет вид 𝑃(𝜏 (𝑔,MSC(A))) = 𝑃(MSC(A))𝑔−1.Для матричных представителей двумерных алгебр предложена полная матричная классификация с различными орбитами над Z2. Изложена связь 𝑃(𝑔MSC(A)(𝑔−1)⊗2) = 𝑒,между MSC(A) и задающей ее линейно независимой системой {𝑇𝑟𝑘} = {𝑇𝑟1, 𝑇𝑟2}. Данная связь различных матричных представителей орбит равна 𝑞4. В работе также учтена связь того, что матричные представители орбит при действии 𝜏 могут пересекаться, однако в исследовании строго доказана их непересекаемость.Показана взаимосвязь в виде системы равенств между элементами эквивалентных орбит 𝜏-действия группой 𝐺𝐿(2,Z2) на MSC(A) для дальнейшего изучения над полями более высшего порядка. Результаты показывают, что количество различных орбит 𝜏-действия равняется 52. Как следствие в теоретико-групповом смысле, данная задача эквивалентна описанию умножения на двупорожденной абелевой группе вида Z2 ⊕ Z2 с точностью доизоморфизма.В заключение приводятся некоторые свойства решётки Z𝑞 × Z𝑞 (𝑇𝑟𝑘) с использованием системы векторов {𝑇𝑟𝑘}, из которых, в частности, следует описание эквивалентных матриц с точностью до числа по пяти непересекающимся линейным формам {𝑇𝑟𝑘} = {𝑇𝑟1(MSC(A)), 𝑇𝑟2(MSC(A))} = {𝑇𝑟1(𝐴), 𝑇𝑟2(𝐴)} двойственного пространства алгебры A.

The problem of finding orbits of the group 𝐺𝐿(𝑉 ) on the space 𝐴𝑙𝑔(𝑉 ) of all bilinear mappings 𝑉 ×𝑉 → 𝑉 is investigated. The work considers only two-dimensional algebras over the field Z2 without using methods of invariant theory. The classification of algebras is considered from new perspectives. To distinguish a large class of algebras, a mapping 𝑃 is used, which naturally arises as a mapping 𝐴𝑙𝑔(𝑉 ) → 𝑉 * × 𝑉 *, assigning to each algebra structure on the space 𝑉 a pair of linear forms 𝑇𝑟1 and 𝑇𝑟2, defined as traces of the left and right multiplicationoperators in this algebra. The 𝜏 -action of the group 𝐺𝐿(2,Z2), consisting of non-degenerate square matrices 𝑔, on the set MSC(A) — matrices of structural constants is studied. This action is generally written as 𝜏 : (𝑔,MSC(A)) → 𝑔MSC(A)(𝑔−1)⊗2. The action 𝜏 defines equivalence between matrix operators of two-dimensional algebras and determines the structure for describing action orbits.For this action, the 𝑃-mapping was used, which has the form 𝑃(𝜏 (𝑔,MSC(A))) == 𝑃(MSC(A))𝑔−1.For matrix representatives of two-dimensional algebras, a complete matrix classification with various orbits over Z2 is proposed. The connection 𝑃(𝑔MSC(A)(𝑔−1)⊗2) = 𝑒 between MSC(A) and its defining linearly independent system {𝑇𝑟𝑘} = {𝑇𝑟1, 𝑇𝑟2} is presented. This connection of different matrix representatives of orbits equals 𝑞4. The work also addresses the fact that the matrix representatives of the orbits under the action of 𝜏 could potentially intersect; however, the study rigorously proves their non-intersection.The interrelation in the form of a system of equalities between elements of equivalent orbits of 𝜏 -action by the group 𝐺𝐿(2,Z2) on MSC(A) for further study over fields of higher order isshown. The results show that the number of different orbits of 𝜏 -action equals 52.As a consequence in the group-theoretic sense, this problem is equivalent to describingmultiplication on a two-generated abelian group of the form Z2 ⊕ Z2 up to isomorphism.In conclusion, some properties of the lattice Z𝑞×Z𝑞 (𝑇𝑟𝑘) using the system of vectors {𝑇𝑟𝑘} are given, from which, in particular, follows the description of equivalent matrices with respectto number by five disjoint linear forms {𝑇𝑟𝑘} = {𝑇𝑟1(MSC(A)), 𝑇𝑟2(MSC(A))} = {𝑇𝑟1(𝐴), 𝑇𝑟2(𝐴)} of the dual space of the algebra A.

двумерные алгебрыдействие групп на множествеорбитыабелева группаумножения на абелевой группе.two-dimensional algebrasaction of groups on a setorbitsabelian groupmultiplications on an abelian group.ReferencesPetersson, H.P., Scherer, M. The number of nonisomorphic two-dimensional algebras over a finite field // Results Math. (2004), 42(1–2). pp. 137-–152.Petersson, H.P., Scherer, M. 2004, “The number of nonisomorphic two-dimensional algebras over a finite field”, Results Math. 42(1–2), pp. 137–152.Petersson, H.P. The classification of two-dimensional nonassociative algebras // Results Math. 2000. 37(1–2). pp. 120-–154.Petersson, H.P. 2000, “The classification of two-dimensional nonassociative algebras”, Results Math. 37(1–2), pp. 120–154.Bekbaev U. Complete classification of two-dimensional algebras over any basic field // AIP Conference Proceedings 2880, 030001 (2023).Bekbaev, U. 2023, “Complete classification of two-dimensional algebras over any basic field”, AIP Conference Proceedings 2880, 030001.Nikolaas D. Verhulst. Counting Finite-Dimensional Algebras Over Finite Field // Results Math. 2020. pp. 75–153.Verhulst, N.D. 2020, “Counting finite-dimensional algebras over finite field”, Results Math. 75, pp. 153.Althoen, S.C., Hansen, K.D. Two-dimensional real algebras with zero divisors // Acta Sci. Math (Szeged). 1992. 56. pp. 23-–42.Althoen, S.C., Hansen, K.D. 1992, “Two-dimensional real algebras with zero divisors”, Acta Sci. Math (Szeged) 56, pp. 23–42.Henderson, H.V., Searle, S.R. The vec-permutation matrix, the vec operator and Kronecker products: a review // Linear Multilinear Algebra. 1981. 9(4). pp. 271-–288.Henderson, H.V., Searle, S.R. 1981, “The vec-permutation matrix, the vec operator and Kronecker products: a review”, Linear Multilinear Algebra, 9(4), pp. 271–288.Rotman, J.J. An Introduction to the Theory of Groups. Grad // Texts in Math, vol. 148. Springer, Berlin. 2012. ISBN: 9781461241768.Rotman, J.J. 2012, “An Introduction to the Theory of Groups”, Grad. Texts in Math, vol. 148.R¨ohrl, H. A. A theorem on non-associative algebras and its applications to differential equations // Manuscripta Math. 21. 1977. Pp. 181–187.Springer, Berlin. ISBN: 9781461241768.R¨ohrl, H. A. Finite dimensional algebras without nilpotent elements over algebraically closed fields. Arch. Math.. 32. 1979. Pp. 10–12.R¨ohrl, H.A. 1977, “A theorem on non-associative algebras and its applications to differential equations”, Manuscripta Math. 21, pp. 181–187.Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. I // М.: Мир. 1973.R¨ohrl, H.A. 1979, “Finite dimensional algebras without nilpotent elements over algebraically closed fields”, Arch. Math. 32, pp. 10–12.Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. II // М.: Мир. 1977.Fuchs, L. 1970, “Infinite abelian groups. vol. 1”,Academic Press.Куликов Л. Я. К теории абелевых групп произвольной мощности // Матем. сб. 1941. Т. 9(51). № 1. С. 165–181.Fuchs, L. 1973, “Infinite abelian groups. vol. 2”, Academic Press.Arnold D. M. Finite rank torsion free abelian groups and rings // Lecture Notes in Math. 1982. Vol. 931. Springer. NY, .Kulikov, L. Ya. 1941, “On the theory of abelian groups of arbitrary power”, Mat. Sbornik, vol. 16, pp. 129–162 (Russian).Szele T. Nilpotent Artinian rings // Publ. Math. Debrecen. 4. 1955, pp. 71–78.Arnold, D.M. 1982, “Finite rank torsion-free abelian groups and rings”, Lecture Notes in Math. Vol. 931. Springer, NY.Feigelstock S. Additive groups of rings. Vol. 1, 2 // Pitman Advanced Publishing Program. 1983. 1986.Szele, T. 1955, “Nilpotent Artinian rings”, Publ. Math. Debrecen, 4, pp. 71–78.Feigelstock, S. 1983, “Additive groups of rings”, Vol. 1, 2. Pitman Advanced Publishing Program, 1986.Feigelstock, S. 1983, “Additive groups of rings”, Vol. 1, 2. Pitman Advanced Publishing Program, 1986.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.