В работе получено полное аналитическое решение задачи о свободных колебаниях струны с произвольным числом скачкообразных изменений скорости распространения волн.Предложен новый комбинаторно-аналитический метод, позволяющий представить решение в виде компактной явной формулы. Доказано, что решение представляет собой суперпозицию 2𝑁−1 волн, каждая из которых соответствует одному из возможных путей распространения возмущения через моменты переключения скорости.Установлено, что коэффициенты в полученной формуле имеют ясный физический смысл и представляют собой произведения коэффициентов прохождения и отражения награницах раздела сред. Метод обобщен на случай конечной струны с нулевыми граничными условиями Дирихле.Решение построено в замкнутой форме и подтверждено двумя независимыми методами: методом Фурье и методом математической индукции. Полученные результаты позволяют анализировать сложные волновые процессы в средах с кусочно-постоянными параметрами и могут быть использованы в задачах акустики, сейсмологии и теории управления.
The paper presents a complete analytical solution to the problem of free vibrations of a string with an arbitrary number of abrupt changes in the wave propagation velocity. A novel combinatorial-analytical method is proposed that allows representing the solution in the form of a compact explicit formula. It is proved that the solution represents a superposition of 2𝑁−1 waves, each corresponding to one of the possible paths of disturbance propagation through the velocity switching moments. It is established that the coefficients in the obtained formula have a clear physical meaning and represent products of transmission and reflection coefficients at the interfaces. The method is generalized to the case of a finite string with zero Dirichlet boundary conditions. The solution is constructed in closed form and confirmed by two independent methods:the Fourier method and the method of mathematical induction. The obtained results allow analyzing complex wave processes in media with piecewise constant parameters and can beused in problems of acoustics, seismology, and control theory.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.