chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2025-26-4-329-343cheb-2089Research ArticleСтатьиArticleО приближении действительных чисел суммами двух степеней простых чиселOn the approximation of real numbers by the sums of two powers of primesНауменкоАнтон ПавловичNaumenkoAnton Pavlovich

аспирант

postgraduate student

naumenko.anton90@gmail.comМосковский государственный университет им. М. В. Ломоносова; ОАО «ИнфоТеКС»РоссияLomonosov Moscow State University; JSC “Infotex”Russian Federation202529122025264329343Copyright © Науменко А.П., 20252025Науменко А.П.Naumenko A.P.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/2089

В статье для любого фиксированного 𝑐 ≥ 1 получена нижняя оценка 𝜅(𝑐), при выполнении которой к заданному действительному числу 𝑁 > 𝑁0(𝜀) можно подойти суммойдвух степеней простых чисел 𝑝𝑐1 + 𝑝𝑐 2 на расстояние не большее, чем 𝐻 = 𝑁𝜅(𝑐)+𝜀, где 𝜀 – произвольное положительное число.Данный результат получен при помощи плотностной техники, разработанной Ю. В. Линником в 1940-х годах. Плотностная техника основана на применении явных формул, выражающих суммы по простым числам через суммы по нетривиальным нулям дзета-функции Римана и использовании плотностных теорем – оценок количества нетривиальных нулей дзета-функции, лежащих в критической полосе и таких, что их реальная часть больше некоторого 𝜎, где 1 > 𝜎 ≥ 1/2.Содержащиеся в статье результаты основаны на применении современных плотностных теорем, полученных А. Ивичем. Кроме того, при доказательстве была использована тео-рема Бейкера, Хармана, Пинтца: к заданному действительному числу 𝑁 > 𝑁0(𝜀) можно подойти простым числом на расстояние не большее, чем 𝐻 = 𝑁21/40+𝜀. Также использован результат М. Хаксли об оценке значений дзета-функции Римана на критической прямой: |𝜁(1/2 + 𝑖𝑡)| ≪ 𝑡32/205+𝜀.

In the article we have for any fixed 𝑐 estimate of 𝜅(𝑐) such that 𝑁 > 𝑁0(𝜀) can be approached by the sum of powers of two primes 𝑝𝑐 1 + 𝑝𝑐 2 by a distance not exceeding 𝐻 = 𝑁𝜅(𝑐)+𝜀, where 𝜀is an arbitrary positive number. These results were obtained using the density technique developed by Yu.V. Linnik in the 1940s. The density technique is based on applying explicit formulas expressing sums over prime numbers with sums over nontrivial zeros of the Riemann zeta function and using densitytheorems that estimate the number of nontrivial zeros of the zeta function lying in the critical strip such that their real part is greater than some 𝜎, 1 > 𝜎 ≥ 1/2.The results obtained in this paper are based on the application of modern density theorems obtained by A. Ivich. In addition, the proof used the theorem of Baker, Harman, and Pintz: one can approach a given real number 𝑁 > 𝑁0(𝜀) by a prime number by a distance no more than 𝐻 = 𝑁21/40+𝜀. Also, the following result obtained by M. Huxley: |𝜁(1/2 + 𝑖𝑡)| ≪ 𝑡32/205+𝜀.

простые числадиофантовы неравенстваплотностная теорема.primesdiophantine inequalitiesdensity theorem.ReferencesHuxley M. N. On the difference between consecutive primes // Inventiones Mathematicae. — 1972. — Vol. 15, No. 1. — P. 164–170.Huxley, M. N. 1972, “On the difference between consecutive primes”, Inventiones Mathematicae, 15(1), pp. 164–170.Гриценко С. А. Уточнение одной константы в плотностной теореме // Математические заметки. — 1994. — Т. 55, № 2. — С. 59–61.Gritsenko, S. A. 1994, “The refinement of a constant in the density theorem”, Mathematical Notes, 55(2), pp. 59–61.Ivi´c A. The Riemann Zeta-Function. — New York: John Wiley and Sons, 1985. — 517 p.Ivi´c, A. 1985, The Riemann Zeta-Function, New York: John Wiley and Sons.Ivi´c A. Topics in Recent Zeta-Function Theory. — Orsay: Universit´e de Paris-Sud, 1983. — 150 p.Ivi´c, A. 1983, Topics in Recent Zeta-Function Theory, Orsay: Universit´e de Paris-Sud.Ivi´c A. A note on the zero-density estimates for the zeta-function // Archiv der Mathematik. — 1979. — Vol. 33. — P. 155–164.Ivi´c, A. 1979, “A note on the zero-density estimates for the zeta-function”, Archiv der Mathematik, 33, pp. 155–164.Ivi´c A. Exponent pairs and the zeta-function of Riemann // Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica. — 1980. — Vol. 15. — P. 157–181.Ivi´c, A. 1980, “Exponent pairs and the zeta-function of Riemann”, Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica, 15, pp. 157–181.Линник Ю. В. О возможности единого метода в некоторых вопросах аддитивной и дистрибутивной теории чисел // Доклады Академии наук СССР. — 1945. — Т. 49, № 1. — С. 3–7.Linnik, Yu. V. 1945, “On the possibility of a unified method in certain questions of additive and multiplicative number theory”, Doklady of the Academy of Sciences of the USSR, 49(1), pp. 3–7.Линник Ю. В. Об одной теореме теории простых чисел // Доклады Академии наук СССР. — 1945. — Т. 47, № 1. — С. 7–9.Linnik, Yu. V. 1945, “On a theorem of the theory of primes”, Doklady of the Academy of Sciences of the USSR, 47(1), pp. 7–9.Воронин С. М., Карацуба А. А. Дзета-функция Римана. — М.: Физматлит, 1994. — 376 с.Voronin, S. M. and Karatsuba, A. A. 1994, The Riemann Zeta Function, Moscow: Fizmatlit.Baker R. C., Harman G., Pintz J. The difference between consecutive primes, II // Proceedings of the London Mathematical Society. — 2001. — Vol. 83, No. 3. — P. 532–562.Baker, R. C., Harman, G., and Pintz, J. 2001, “The difference between consecutive primes, II”, Proceedings of the London Mathematical Society, 83(3), pp. 532–562.Гирько В. В., Гриценко С. А. Об одном диофантовом неравенстве с простыми числами // Чебышевский сборник. — 2006. — Т. 7, № 4. — С. 26–30.Girko, V. V. and Gritsenko, S. A. 2006, “On a diophantine inequality with primes”, Chebyshevskii Sbornik, 7(4), pp. 26–30.Гриценко С. А., Нгуен Тхи Ча О диофантовых неравенствах с простыми числами // Научные ведомости БелГУ. Серия: Математика. Физика. — 2012. — № 23(142), вып. 29. — С. 186–190.Gritsenko, S. A. and Nguyen Thi Tcha, 2012, “On diophantine inequalities with primes”, Nauchnyye Vedomosti BelGU. Series: Mathematics. Physics, 23(142), 29, pp. 186–190.Науменко А. П. О нелинейных диофантовых неравенствах с простыми числами // Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения: труды XV Междунар. конф. — Тула, 2018. — С. 239–241.Naumenko, A. P. 2018, “On nonlinear diophantine inequalities with primes”, in Algebra, Number Theory and Discrete Geometry: Modern Problems and Applications: Proceedings of the XV International Conference, Tula, pp. 239–241.Науменко А. П. О некоторых нелинейных диофантовых неравенствах с простыми числами // Математические заметки. — 2019. — Т. 105, вып. 6. — С. 943–948.Naumenko, A. P. 2019, “On some nonlinear diophantine inequalities with primes”, Mathematical Notes, 105(6), pp. 943–948.Науменко А. П. О приближении действительных чисел суммами двух квадратов простых чисел // Вестник Московского университета. Серия 1: Математика. Механика. — 2019. — № 5. — С. 3–8.Naumenko, A. P. 2019, “On the approximation of real numbers by the sums of two squares of primes”, Vestnik Moskovskogo Universiteta. Seriya 1: Matematika. Mekhanika, 5, pp. 3–8.Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. — М.: Наука, 1983. — 240 с.Karatsuba, A. A. 1993, Basic Analytic Number Theory, Berlin: Springer-Verlag.Huxley M. N. Exponential sums and the Riemann zeta function V // Proceedings of the London Mathematical Society. — 2005. — Vol. 90. — P. 1–41.Huxley, M. N. 2005, “Exponential sums and the Riemann zeta function V”, Proceedings of the London Mathematical Society, 90, pp. 1–41.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.