chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2025-26-4-302-315cheb-2086Research ArticleСтатьиArticleРазработка и верификация методики конкретизации определяющего соотношения МурнаганаDevelopment and verification of a methodology for Murnaghan’s defining relation сoncretizationКозловВиктор ВячеславовичKozlovVictor Vyacheslavovich

кандидат физико-математических наук

candidate of physical and mathematical sciences

vvkozlovtsu@mail.ruФилатоваАлександра ВячеславовнаFilatovaAlexandra Vyacheslavovna

магистр, лаборант-исследователь

master of sciences, research laboratory assistant

filatovasasha-1@mail.ruТульский государственный университетРоссияTula State UniversityRussian FederationТульский педагогический университет имени Л. Н. ТолстогоРоссияTula State Lev Tolstoy Pedagogical UniversityRussian Federation202529122025264302315Copyright © Козлов В.В., Филатова А.В., 20252025Козлов В.В., Филатова А.В.Kozlov V.V., Filatova A.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/2086

В статье описана методика конкретизации определяющего соотношения Мурнагана, включающего в себя пять материальных констант, с помощью задачи об однородном одноосном растяжении (сжатии) образца, выполненного из нелинейно-упругого материала.Предлагаемая методика основана на использовании экспериментально наблюдаемых значений осевой нагрузки и поперечных удлинений призматического образца в зависимости от его осевого удлинения. Экспериментальные кривые аппроксимируются теоретическими зависимостями, следующими из решения задачи растяжения-сжатия в рамках рассматриваемого определяющего соотношения. Из требования минимальных отличий между экспериментальными и теоретическими данными с помощью метода наименьших квадратов определяются материальные константы. В работе описано автоматизированное с помощью языка программирования python проведение численного эксперимента, данные которого использовались для демонстрирования выполнения предложенной конкретизации определяющего соотношения Мурнагана. Численный эксперимент был проведен в отечественномпакете прочностного анализа CAE Fidesys. Осуществлена проверка корректности предложенной методики с помощью сравнения экспериментальных данных и теоретических,полученных для материальных констант, определенных в рамках представленных алгоритмов конкретизации определяющего соотношения Мурнагана.

In paper the methodology of concretization of five-constant Murnaghan’s defining relation is described, using the problem of homogeneous uniaxial tension (compression) of a samplemade of a nonlinear elastic material. The methodology is based on the use of experimentally observed values of axial load and transverse elongation of a prismatic sample as a functionof its axial elongation. The experimental curves are approximated by theoretical dependences following from the solution of the tensile-compression problem within the framework of theconsidered constitutive relation. Material constants are determined from the requirement of minimal differences between experimental and theoretical data using the least squares method. Аn automated numerical experiment using the python programming language is described. The collected data was used to demonstrate the performance of the proposed concretization of Murnaghan’s defining relation. The numerical experiment was carried out in the local strength analysis package CAE Fidesys. The correctness of the proposed methodology was verified by comparing experimental data and theoretical data obtained for material constants determined within the framework of the presented algorithms for the concretization of the Murnaghan’s defining relation.

методика конкретизации определяющего соотношенияматериал Мурнаганодноосное растяжениенелинейно-упругий материалCAE Fidesyspythonчисленный эксперимент.methodology of concretization of the defining relationMurnaghan’s materialuniaxial tensionnonlinear elastic materialCAE Fidesyspythonnumerical experiment.Работа выполнена в рамках государственного задания Министерства просвещения РФ соглашение № 073- 00033-24-01 от 09.02.2024 тема научного исследования «Теоретико-численные методы в приближенном анализе и их приложения в механике и физике».ReferencesCowley J., Mulholland A., Gachagan A. A nonlinear elasticity approach to modelling the collapse of a shelled microbubble // IMA Journal of Applied Mathematics (Institute of Mathematics and Its Applications). 2017. V. 82. P. 781-801. https://doi.org/10.1093/imamat/hxx013Cowley, J., Mulholland, A. & Gachagan, A. 2017, “A nonlinear elasticity approach to modelling the collapse of a shelled microbubble”, IMA Journal of Applied Mathematics (Institute of Mathematics and Its Applications, vol. 82, pp. 781-801. https://doi.org/10.1093/imamat/hxx013Andreeva Y. Y., Zhukov B. A. Exact analytical solutions of a problem of the nonlinear theory of elasticity for two potentials of deformation energy of an incompressible material // University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2018. Vol. 2, № 46. P. 64-76. https://doi.org/10.21685/2072-3040-2018-2-7Andreeva, Y. Y. & Zhukov B. A. 2018, “Exact analytical solutions of a problem of the nonlinear theory of elasticity for two potentials of deformation energy of an incompressible material”, University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences, vol. 2, no. 46, pp. 64-76. https://doi.org/10.21685/2072-3040-2018-2-7Толоконников Л. А., Маркин А. А. Определяющие соотношения при конечных деформациях // Проблемы механики деформируемого твердого тела. Межвузов. сб. трудов / Калинин. политех. ин-т. Калинин: Изд-во КГУ, 1986. С. 49-57.Tolokonnikov, L. A. & Markin, A. A. 1986, “Determining relations at finite deformations”, Problems of deformable solid mechanics. Interuniversity collection of works / Kalinin Polytechnic Institute. Kalinin: Izd-vo KSU, pp. 49-57.Бровко Г. Л. Определяющие соотношения механики сплошной среды: Развитие математического аппарата и основ общей теории. М.: Наука, 2017. 432 с. ISBN: 978-5-02-040054-2Brovko, G. L 2017. Defining relations of continuum mechanics: Development of mathematical apparatus and foundations of the general theory. Nauka, Moscow, pp. 432. ISBN: 978-5-02-040054-2Anand L. A constitutive model for compressible elastomeric solids // Computational Mechanics. 1996. Vol. 18. P. 339–355. https://doi.org/10.1007/BF00376130Anand, L. 1996, “A constitutive model for compressible elastomeric solids”, Computational Mechanics, vol. 18, pp. 339–355. https://doi.org/10.1007/BF00376130Коробейников С. Н., Олейников А. А. Лагранжева формулировка определяющих соотношений материала Генки // Дальневосточный математический журнал. 2011. Т. 11. № 2. С. 155–180. ISSN: 1608-845XKorobeinikov, S. N. & Oleinikov, A. A. 2011, “Lagrangian formulation of the defining relations of the Genki material”, Far Eastern Mathematical Journal, vol. 11, no. 2, pp. 155-180. ISSN:1608-845XКозлов В. В., Маркин А. А. Анализ определяющих соотношений изотропных нелинейно-упругих сжимаемых материалов // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2014. Вып. 1. Ч. 1. С. 133-143. ISSN: 2071-6176Kozlov, V. V. & Markin, A. A. 2014, “Analysis of the determining relations of isotropic nonlinear-elastic compressible materials”, Izvestiya Tula State University. Natural Sciences, vol 1, no. 1, pp. 133-143. ISSN: 2071-6176Толоконников Л. А. О связи между напряжениями и деформациями в нелинейной теории упругости // ПММ. 1956. Т. 20. С. 439–444.Tolokonnikov, L. A. 1956, “On the relation between stresses and strains in the nonlinear theory of elasticity”, PMM, vol. 20, pp. 439-444.Latorre M., Montans F. J. On the interpretation of the logarithmic strain tensor in an arbitrary system of representation // International Journal of Solids and Structures. 2014.Latorre, M. & Montans, F. J. 2014, “On the interpretation of the logarithmic strain tensor in an arbitrary system of representation”, International Journal of Solids and Structures, vol. 51, pp. 1507–1515. https://doi.org/10.1016/j.ijsolstr.2013.12.041P. 1507–1515. https://doi.org/10.1016/j.ijsolstr.2013.12.041Rajagopal, K. R. & Rodriguez, C. 2024, “A mathematical justification for nonlinear constitutive relations between stress and linearized strain”, Mathematical Physics, 2405.20977. https://doi.org/10.48550/arXiv.2405.20977Rajagopal K. R., Rodriguez C. A mathematical justification for nonlinear constitutive relations between stress and linearized strain // Mathematical Physics. 2024. 2405.20977. https://doi.org/10.48550/arXiv.2405.20977Lurie, A. I 1980. Nonlinear Theory of Elasticity. Nauka, Moscow, pp. 512.Лурье А. И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 512 с.Markin, A. A. & Khristich, D. V 2007. Nonlinear theory of elasticity: textbook: 2nd ed. Izd-vo TulSU, Tula, pp. 92. ISBN: 5-7679-1118-9: 4500.00Маркин А. А., Христич Д.В. Нелинейная теория упругости: учеб. пособие: 2-е изд. Тула: Изд-во ТулГУ, 2007 г. 92 с. ISBN: 5-7679-1118-9: 4500.00Fu, Y. B. & Ogden R.W2001. Nonlinear Elasticity: Theory and Applications. CUP, Cambridge, pp. 525. ISBN 10: 0521796954Fu Y. B., Ogden R. W. Nonlinear Elasticity: Theory and Applications. Cambridge: CUP, 2001. P. 525. ISBN 10: 0521796954Novozhilov, V. V 1948. Fundamentals of Nonlinear Theory of Elasticity. Gostekhizdat, Moscow, pp. 211.Новожилов В. В. Основы нелинейной теории упругости. М.: Гостехиздат, 1948. 211 с.Markin. А. A. & Kozlov, V. V. 2015, “Questions of concretization of the defining relations of the nonlinear theory of elasticity on the basis of consideration of uniaxial homogeneous stretching”, Izvestiya Tula State University. Natural Sciences, vol. 4, pp. 137-143.Маркин А. А., Козлов В. В. Вопросы конкретизации определяющих соотношений нелинейной теории упругости на основе рассмотрения одноосного однородного растяжения // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2015. Вып. 4. С. 137-143.Chikov, V. S. 2018, “Experimental methods of specifying the defining relations using cylindrical specimens”, Bulletin of I. Y. Yakovlev Chuvash State Pedagogical University. Series: Mechanics of limit state, no. 2(36), pp. 38-49. ISSN: 2073-5499Чиков В. С. Экспериментальные методики конкретизации определяющих соотношений с использованием цилиндрических образцов // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. 2018. № 2(36). С. 38–49. ISSN: 2073-5499Astapov, V. F., Markin, A. A. & Sokolova, M. Yu. 2002, “Determination of elastic properties of materials from experiments on solid cylinders”, Izvestia RAS. MTT, no. 1, pp. 104-111.Астапов В. Ф., Маркин А. А., Соколова М. Ю. Определение упругих свойств материалов из опытов на сплошных цилиндрах // Известия РАН. МТТ. 2002. № 1. С. 104–111.Guz, A. N. 1973. Stability of elastic bodies under finite deformations. Nauk. dumka, Kyiv, pp. 270.Гузь А. Н. Устойчивость упругих тел при конечных деформациях. Киев: Наук. думка, 1973. 270 с.Murnaghan F. D 1951. Finite deformation of an elastic solid. John Wiley & Sons, Inc., pp. 140.Murnaghan F. D. Finite deformation of an elastic solid. John Wiley & Sons, Inc., 1951. 140 p.Charnes, A., Frome, E. L. & Yu P. L. 1976, “The Equivalence of Generalized Least Squares and Maximum Likelihood Estimates in the Exponential Family”, Journal of the American Statistical Association, vol. 71, no. 353, pp. 169-171. https://doi.org/10.1080/01621459.1976.10481508Charnes A., Frome E. L., Yu P. L. The Equivalence of Generalized Least Squares and Maximum Likelihood Estimates in the Exponential Family // Journal of the American Statistical Association. 1976. Vol. 71, № 353. P. 169-171. https://doi.org/10.1080/01621459.1976.10481508Wolberg, J. 2006. Data Analysis Using the Method of Least Squares: Extracting the Most Information from Experiments. Springer Berlin, Heidelberg, pp. 250. https://doi.org/10.1007/3-540-31720-1Wolberg J. Data Analysis Using the Method of Least Squares: Extracting the Most Information from Experiments. Heidelberg: Springer Berlin, 2006. P. 250. https://doi.org/10.1007/3-540-31720-1Aldrich, J. 1998, “Doing Least Squares: Perspectives from Gauss and Yule”, International Statistical Review, vol. 66, no. 1, pp. 61-81. https://doi.org/10.1111/j.1751-5823.1998.tb00406.xAldrich J. Doing Least Squares: Perspectives from Gauss and Yule // International Statistical Review. 1998. Vol. 66, № 1. P. 61-81. https://doi.org/10.1111/j.1751-5823.1998.tb00406.xMorozov, E. M., Levin, V. A. & Vershinin, A. V 2015. Strength analysis: Fidesys in the hands of an engineer. LENAND, Moscow, pp. 408. ISBN: 9785971025252Морозов Е. М., Левин В. А., Вершинин А. В. Прочностной анализ: Фидесис в руках инженера. М.: ЛЕНАНД, 2015. 408 с. ISBN: 9785971025252Levin, V. A. & Vershinin, A. V 2015. Nonlinear Computational Mechanics of Strength. Vol. 2. Numerical Methods. Parallel Computing on Computers. FIZMATLIT, Moscow, pp. 544. ISBN: 9785922116329Левин В. А., Вершинин А. В. Нелинейная вычислительная механика прочности. Том 2. Численные методы. Параллельные вычисления на ЭВМ. Под общ. ред. В. А. Левина. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2015. 544 с. ISBN: 9785922116329Zienkiewicz, O. C., Taylor, R. L. & Fox D. D 2014. The finite element method for solid and structural mechanics. 7-th edition. Elsevier, pp. 624. ISBN: 9781856176347Zienkiewicz O. C., Taylor R. L., Fox D. D. The finite element method for solid and structural mechanics. 7-th edition. Elsevier, 2014. P. 624. ISBN: 9781856176347Markin, A. A. & Sotnikov K. Yu 2003. Mechanics of Continuous Medium: Textbook. Tula State University,Tula, pp. 132.Маркин А. А., Сотников К. Ю. Механика сплошной среды: Учеб. пособие. Тула: Тул. гос. ун-т, 2003. 132 с.Ilyushin, A. A. 1990. Mechanics of Continuous Medium: Textbook. 3rd ed. Izd-vo MSU, Moscow, pp. 310.Ильюшин А. А. Механика сплошной среды: Учебник, 3-е изд. М.: Изд-во МГУ, 1990. 310 с.Brugger, K. 1964, “Thermodynamic Definition of Higher Order Elastic Coefficients”, Physical Review, vol. 133(6A), A1611. https://doi.org/10.1103/PhysRev.133.A1611Brugger K. Thermodynamic Definition of Higher Order Elastic Coefficients // Physical Review. 1964. 133(6A). A1611. https://doi.org/10.1103/PhysRev.133.A1611Brugger K. Thermodynamic Definition of Higher Order Elastic Coefficients // Physical Review. 1964. 133(6A). A1611. https://doi.org/10.1103/PhysRev.133.A1611

The authors declare that there are no conflicts of interest present.