кандидат физико-математических наук
candidate of physical and mathematical sciences
Пусть 𝑂𝑋𝑌 — прямоугольная система координат с целочисленной решеткой, 𝐴𝐵 — отрезок с целыми (целочисленными) концами 𝐴 = (𝑞; 0)𝑂𝑋𝑌 = 𝐴(𝑞) и 𝐵 = (0; 𝑝)𝑂𝑋𝑌 = 𝐵(𝑝), такими, что 𝑝 и 𝑞 взаимно просты, а разложение 𝑝 𝑞 в цепную дробь имеет вид [0; 𝑎1, 1, 𝑎3,. . . , 𝑎2𝑁′+1], где 𝑎−1 , 𝑎3, . . . , 𝑎2𝑁′+1, 𝑁′, 𝑝, 𝑞, ∈ N : (= {1, 2, . . .}).Рассмотрим множество S𝐴𝐵 таких единичных квадратов (клеток) этой решетки, что внутренность каждого из них имеет непустое пересечение с 𝐴𝐵. Границу этого множествапредставим в виде объединения ломаных S−𝐴𝐵 и S+𝐴𝐵 таких, что их крайними вершинами служат точки 𝐴 и 𝐵. Здесь индекс минус (плюс) указывает на то, что S− 𝐴𝐵 (S+𝐴𝐵) лежит по левую (правую) сторону от отрезка 𝐴𝐵 при движение от 𝐴 к 𝐵. Ломаную S− 𝐴𝐵 (S+ 𝐴𝐵) назовем левой (правой) (целочисленной) ступенчатой аппроксимацией отрезка 𝐴𝐵 или цепной дроби [0; 𝑎1, 1, 𝑎3, . . . , 𝑎𝑁]. Для краткости такие ломаные будем называть маршами, а их горизонтальные звенья — ступенями, вертикальные —высотами, что вызвано ассоциацией с лестничным маршем.В работе получены следующие результаты:1. Формулы целочисленной аппроксимации цепной дроби, как конечных, так и бесконечных.2. Алгоритмическое построение маршей S±𝐴𝐵, определяемое рассматриваемой цепнойдробью, дает их аналитическое задание через марши векторов-слагаемых из второго равенства:
где векторы 𝑒2𝑁′−1 = (−𝑞2𝑁′−4; 𝑝2𝑁′−4)𝑂𝑋𝑌 и 𝑒2𝑁′ = (−𝑞2𝑁′−3; 𝑝2𝑁′−3)𝑂𝑋𝑌 , координаты которых определяются подходящими дробями 𝑝𝑛−3/𝑞𝑛−3 порядка 𝑛 = 2𝑁′ − − 1, 2𝑁′, исходной цепной дроби, а в скобках указаны точки приложения векторов.3. Расположение ступеней ширины 𝑎1 в S− 𝐴𝐵, устанавливается с помощью семейства параллельных переносов отрезка с концами (𝑞 − 𝑎1; 0)𝑂𝑋𝑌 и (𝑞 − 1; 0)𝑂𝑋𝑌 . Каждый член семейства находим через аппроксимационные формулы для [0; 𝑎1, 1, 𝑎3, . . . , 𝑎𝑁].4. Формула, дающая количество ступеней ширины 𝑎1 в S−𝐴𝐵, представляет собой трехдиагональный определитель (2𝑁′ −5)-го порядка: главная диагональ состоит из элементов 𝑎4, 1, 𝑎5, . . . , 𝑎2𝑁′−6, верхняя диагональ — из единиц, нижняя из минус единиц, а остальные нули.
Let 𝑂𝑋𝑌 be a rectangular coordinate system with an integer lattice, 𝐴𝐵 is a segment with integer ends 𝐴 = (𝑞; 0)𝑂𝑋𝑌 = 𝐴(𝑞) and 𝐵 = (0; 𝑝)𝑂𝑋𝑌 = 𝐵(𝑝) such that the decomposition of 𝑝𝑞 into a continued fraction has the form [0; 𝑎1, 1, 𝑎3, . . . , 𝑎2𝑁′+1], where 𝑎− 1 , 𝑎3, . . . , 𝑎2𝑁′+1, 𝑁′, 𝑝, 𝑞,𝑁′ ∈ N : (= {1, 2, . . .}), moreover, 𝑝 and 𝑞 are mutually simple.Consider the set S𝐴𝐵 of such unit squares (cells) of this lattice, that the interior of each of them has a nonempty intersection with 𝐴𝐵. The boundary of this set is represented as a unionof polylines S− 𝐴𝐵 and S+ 𝐴𝐵 such that their extreme vertices are the points 𝐴 and 𝐵. Here, the minus index (plus) indicates that S− 𝐴𝐵 (S+ 𝐴𝐵) lies on the left (right) side of the segment 𝐴𝐵when moving from 𝐴 to 𝐵.Polyline S− 𝐴𝐵 (S+ 𝐴𝐵)let’s call left (right) (integer) stepwise approximation of the segment 𝐴𝐵 or continued fraction [0; 𝑎1, 1, 𝑎3, . . . , 𝑎𝑁]. For brevity, we will call such polylines marches, andtheir horizontal links—steps, vertical ones—heights, which is caused by association with a flight of stairs. The following results were obtained in the work:1. Formulas for integer approximation of the stucco fraction, both finite and infinite.2. Algorithmic construction of marches S± 𝐴𝐵, determined by the considered chain fraction. gives their analytical task through the marches of vectors-terms of the second equality:
where the vectors 𝑒2𝑁′−1 = (−𝑞2𝑁′−4; 𝑝2𝑁′−4)𝑂𝑋𝑌 and 𝑒2𝑁′ = (−𝑞2𝑁′−3; 𝑝2𝑁′−3)𝑂𝑋𝑌 , whose coordinates are determined by suitable fractions 𝑝𝑛−3/𝑞𝑛−3 of the order 𝑛 = 2𝑁′− − 1.2𝑁′, the original continued fraction, and the points of application of the vectors are indicated in parentheses.3. The location of the steps of width 𝑎1 in S− 𝐴𝐵, is set using a family of parallel transfers of a segment with ends (𝑞 − 𝑎1; 0)𝑂𝑋𝑌 and (𝑞 − 1; 0)𝑂𝑋𝑌 . We find each member of the family through approximation formulas for [0; 𝑎1, 1, 𝑎3, . . . , 𝑎𝑁].
4. The formula giving the number of steps of width 𝑎1 in S−𝐴𝐵 is a tridiagonal determinant (2𝑁′ − 5)-th order: the main diagonal consists of elements 𝑎4, 1, 𝑎5, . . . , 𝑎2𝑁′−6,the upperdiagonal is — of ones, the lower one is minus ones, and the rest are zeros.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.