chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2025-26-4-224-239cheb-2080Research ArticleСтатьиArticleТопологические инварианты псевдоевклидова случая интегрируемости ЖуковскогоTopological invariants of pseudo-Euclidean Zhukovsky integrableАгурееваЕкатерина СергеевнаAgureevaEkaterina Sergeevnaagureevamath@yandex.ruКибкалоВладислав АлександровичKibkaloVladislav Alexandrovich

кандидат физико-математических наук

candidate of physical and mathematical sciences

slava.kibkalo@gmail.comЧертополоховВиктор АлександровичChertopolokhovVictor Alexandrovich

кандидат физико-математических наук

candidate of physical and mathematical sciences

psvr.msu@gmail.comМосковский государственный университет им. М. В. Ломоносова; Московский центр фундаментальной и прикладной математикиРоссияLomonosov Moscow State University; Moscow Center for Fundamental and Applied MathematicsRussian FederationМосковский государственный университет им. М. В. Ломоносова; НЦМУ «Сверхзвук»РоссияLomonosov Moscow State University, Supersonic centerRussian Federation202529122025264224239Copyright © Агуреева Е.С., Кибкало В.А., Чертополохов В.А., 20252025Агуреева Е.С., Кибкало В.А., Чертополохов В.А.Agureeva E.S., Kibkalo V.A., Chertopolokhov V.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/2080

Изучается псевдоевклидов аналог интегрируемой системы Жуковского для осесимметричного тела. На многомерном пространстве параметров системы найдены два существен-ных параметра, в терминах которых построено разделяющее множество. В зависимости от значений параметров явно описано расположение бифуркационной кривой на плоскости значений отображения момента. Вычислены аналоги инвариантов Фоменко для неособых изоэнергетических и изоинтегральных поверхностей. Приведена визуализация работы алгоритма по построению меченых графов для неособых изоэнергетических поверхностей.

We study the pseudo-Euclidean analogue of the integrable Zhukovsky case for an axisymmetric body. Two essential parameters were found on the multidimensional parameter space, and the separating set was constructed. The bifurcation curve arrangement on the momentum map plane is explicitly described depending on parameter values. Fomenko invariants analogs for non-singular isoenergy and isointegral surfaces are computed. A visualization of the output of the algorithm for constructing labeled graphs for non-singular isoenergetic surfaces is given.

интегрируемая системадинамика твердого теласлоение Лиувилляпсевдоевклидово пространствослучай Жуковскоготопологический инвариантособенность.Integrable systemrigid body dynamicsLiouville foliationpseudo-Euclidean spaceZhukovsky casetopological invariantsingularity.Работа выполнена при поддержке Программы развития МГУ, проект № 23-Ш05-27.ReferencesФоменко А.Т. Топологические инварианты гамильтоновых систем, интегрируемых по Лиувиллю // Функц. анализ и его прил., 1988. Т.22, №4. С.38-51.Fomenko, A. T. 1987, “The topology of surfaces of constant energy in integrable Hamiltonian systems, and obstructions to integrability”, Math. USSR-Izv., vol. 29, no. 3, pp. 629–658.Фоменко А.Т. Симплектическая топология вполне интегрируемых гамильтоновых систем // УМН, 1989. Т.44, №1. С.145-173.Fomenko, A. T. 1988, “Symplectic topology of completely integrable Hamiltonian systems”, Russian Math. Surveys, vol. 44, no. 1, pp. 145–173.Фоменко А.Т., Цишанг Х. Топологический инвариант и критерий эквивалентности интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы // Известия АН СССР, 1990. Т.54, №3. С.546-575.Fomenko, A. T. & Zieschang, H. 1991, “A topological invariant and a criterion for the equivalence of integrable Hamiltonian systems with two degrees of freedom”, Math. USSR-Izv., vol. 36, no. 3, pp. 567–596.Болсинов А.В., Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия. Топология. Классификация. Т. 1, 2. Ижевск: Удмуртский университет, 1999.Bolsinov, A. V. & Fomenko, A. T. 2004, Integrable Hamiltonian systems: geometry, topology, classification, Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, London, New York, Washington.Ведюшкина В.В., Фоменко А.Т. Интегрируемые топологические биллиарды и эквивалентные динамические системы // Изв. РАН. Сер. матем., 2017. Т.81, №4. С.20-67.Vedyushkina (Fokicheva), V. V. & Fomenko, A. T. 2017, “Integrable topological billiards and equivalent dynamical systems”, Izv. Math., vol. 81, no. 4, pp. 688–733.Фоменко А.Т., Ведюшкина В.В. Биллиарды и интегрируемые системы // УМН, 2023. Т.78, №5. С.93-176.Fomenko, A. T. & Vedyushkina, V. V. 2023, “Billiards and integrable systems”, Russian Math. Surveys, vol. 78, no. 5, pp. 881–954.Gavrilov L. Bifurcations of invariant manifolds in the generalized Henon–Heiles system // Phys. D, 1989. Vol.34, №1-2. P.223-239.Gavrilov, L. 1989, “Bifurcations of invariant manifolds in the generalized H´enon–Heiles system”, Physica D, vol. 34, no. 1–2, pp. 223–239.Кудрявцева Е.А. Аналог теоремы Лиувилля для интегрируемых гамильтоновых систем с неполными потоками // Докл. РАН, 2012. Т.445, №4. С.383-385.Kudryavtseva, E. A. 2012, “An analogue of the Liouville theorem for integrable Hamiltonian systems with incomplete flows”, Doklady Mathematics, vol. 86, no. 1, pp. 527–529.Алёшкин К.Р. Топология интегрируемых систем с неполными полями // Матем. сб., 2014. Т.205, №9. С.49-64.Aleshkin, K. R. 2014, “The topology of integrable systems with incomplete fields”, Sb. Math., vol. 205, no. 9, pp. 1264–1278.Федосеев Д.А., Фоменко А.Т. Некомпактные особенности интегрируемых динамических систем // Фундамент. и прикл. матем., 2016. Т.21, №6. С.217-243.Fedoseev, D. A. & Fomenko, A. T. 2020, “Noncompact Bifurcations of Integrable Dynamic Systems”, J. Math. Sc., vol. 248, pp. 810–827.Новиков Д.В. Топологические особенности интегрируемого случая Соколова на алгебре Ли e(3) // Матем. сб., 2011. Т.202, №5. С.127-160.Novikov, D. V. 2011, “Topological features of the Sokolov integrable case on the Lie algebra”, Sb. Math., vol. 202, no. 5, pp. 749–781.Новиков Д.В. Топологические особенности интегрируемого случая Соколова на алгебре Ли so(3,1) // Матем. сб., 2014. Т.205, №8. С.41-66.Novikov, D. V. 2014, “Topological features of the Sokolov integrable case on the Lie algebra so(3,1)”, Sb. Math., vol. 205, no. 8, pp. 1107–1132.Borisov A.V., Mamaev I.S. Rigid body dynamics in non-Euclidean spaces // Rus. J. of Math. Phys., 2016. Vol.23, №4. P.431-454.Borisov, A. V. & Mamaev, I. S. 2016, “Rigid body dynamics in non-Euclidean spaces”, Rus. J. of Math. Phys., vol. 23, no. 4, pp. 431–454.Николаенко С.С. Топологическая классификация гамильтоновых систем на двумерных некомпактных многообразиях // Матем. сб., 2020. Т.211, №8. С.68-101.Nikolaenko, S. S. 2020, “Topological classification of Hamiltonian systems on two-dimensional noncompact manifolds”, Sb. Math., vol. 211, no. 8, pp. 1127–1158.Николаенко С.С. Топологическая классификация некомпактных 3-атомов с действием окружности // Чебышевский сб., 2021. Т.22, №5. С.185-197.Nikolaenko, S. S. 2021, “Topological classification of non-compact 3-atoms with a circle action”, Chebyshevskii Sb., vol. 22, no. 5, pp. 185–197.Соколов С.В. Интегрируемый случай Ковалевской в неевклидовом пространстве: разделение переменных // Труды МАИ, 2018. №100. 13 с.Zhukovsky, N. E. 1949, “On the motion of a rigid body containing cavities filled with a homogeneous droplet liquid”, Collected Works, vol. 2, pp. 152–309. (in Russian)Жуковский Н.Е. О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные однородной капельной жидкостью // Собр. соч., 1949. Т.2. С.152-309.Sokolov, S. V. 2018, “The integrable case of Kovalevskaya in a non-Euclidean spase: separation of variables”, Trydi MAI, vol. 100, pp. 1–13.Кибкало В.А. Свойство некомпактности слоев и особенностей неевклидовой системы Ковалевской на пучке алгебр Ли // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 2020. №6. С.56-59.Kibkalo, V. A. 2020, “Noncompactness property of fibers and singularities of non-Euclidean Kovalevskaya system on pencil of Lie algebras”, Moscow Univ. Math. Bull., vol. 75, no. 6, pp. 263–267.Кибкало В.А. Первый класс Аппельрота псевдоевклидовой системы Ковалевской // Чебышевский Сборник, 2023. Т.24, №1. С.69-88.Kibkalo, V. A. 2023, “First Appelrot class of the pseudo-Euclidean Kovalevskaya system”, Chebyshevskii Sb., vol. 24, no. 1, pp. 69–88.Алтуев М.К., Кибкало В.А. Топологический анализ псевдоевклидова волчка Эйлера при особых значениях параметров // Матем. сб., 2023. Т.214, №3. С.54-70.Altuev, M. K. & Kibkalo, V. A. 2023, “Topological analysis of pseudo-Euclidean Euler top for special values of the parameters”, Sb. Math., vol. 214, no. 3, pp. 334–348.Белоусов Н.А., Кибкало В.А. Инварианты псевдоевклидова волчка Эйлера с некомпактными слоями // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 2025. №3. С.17-22.Agureeva, E. A. & Kibkalo, V. A. 2024, “Topological Analysis of Axisymmetric Zhukovsky System in the Case of Lie Algebra e(2,1)”, Moscow Univ. Math. Bull., vol. 79, no. 5, pp. 207–222Агуреева Е.А., Кибкало В.А. Топологический анализ осесимметричной системы Жуковского в случае алгебры 𝑒(2, 1) // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 2024. № 5. С. 3-16.Belousov, N. A. & Kibkalo, V. A. 2025, “Invariants of Pseudo-Euclidean Euler Top with Noncompact Leaves”, Moscow Univ. Math. Bull., vol. 80, no. 3, pp. 167–172.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.