chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2025-26-4-174-182cheb-2077Research ArticleСтатьиArticleО сравнениях Гаусса и ЯкобшталяOn Gauss and Jacobsthal congruencesПименовКонстантин ИгоревичPimenovKonstantin Igorevich

кандидат физико-математических наук

candidate of physical and mathematical sciences

k.pimenov@spbu.ruФаизовИльдар НиколаевичFaizovIldar Nikolaevichildar_faizov@mail.ruЖуковИгорь БорисовичZhukovIgor Borisovich

доктор физико-математических наук

doctor of physical and mathematical sciences

Санкт-Петербургский государственный университетРоссияSaint Petersburg State UniversityRussian FederationOOO «Яндекс-Технологии»РоссияLLC “Yandex Technologies”Russian Federation202529122025264174182Copyright © Пименов К.И., Фаизов И.Н., Жуков И.Б., 20252025Пименов К.И., Фаизов И.Н., Жуков И.Б.Pimenov K.I., Faizov I.N., Zhukov I.B.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/2077

Данная статья посвящена распространеннию классического сравнения Вольстенхольма для центрального биномиального коэффициента (︀2𝑝 𝑝 )︀ на случай составного числа. Перено-сом малой теоремы Ферма на составной случай является сравнение Гаусса, которое имеет простую комбинаторно-динамическую интерпретацию. Для распространения сравнения Вольстенхольма на составной случай необходимо использовать сравнение Якобшталя.Приводится комбинаторное доказательство его ослабленной версии, основанное на исследовании длин орбит некоторого действия силовской 𝑝-подгруппы симметрической группы.

This paper is devoted to extending the classical Wolstenholme congruence for the central binomial coefficient (︀2𝑝 𝑝 )︀ to the case of a composite number. An extension of Fermat’s little theorem to the composite case is the Gauss congruence, which has a simple combinatorialdynamic interpretation. To extend Wolstenholme’s congruence to the composite case, it isnecessary to use the Jacobsthal congruence. A combinatorial proof of its weakened version is given based on investigation of the orbit lenghts for a suitable action of Sylow 𝑝-subgroupsof the symmetric group.

малая теорема Фермаэлементарная теория чиселсиловская подгруппаарифметическая динамикасравнения Гауссапоследовательность Дольдатеорема ВольстенхольмаFermat little theoremelementary number theoryarithmetical dynamicsSylow subgroupGauss congruenceDold SequenceWolstenholme’s theoremReferencesAlmkvist G. Integrity of ghosts // Preprint. — 1983. — URL: https://arxiv.org/abs/math/0612443 (дата обращения: 01.01.2024).Almkvist, G. 1983, “Integrity of ghosts”, Preprint, Available at: https://arxiv.org/abs/math/0612443.Арнольд В. И. Матричная теорема Эйлера–Ферма // Известия Российской академии наук. Серия математическая. — 2004. — Т. 68, № 6. — С. 3–24.Arnold, V.I. 2004, “The Matrix Euler-Fermat theorem”, Izvestiya: Mathematics, 68(6), pp. 1119–1128.Винберг Э. Б. Малая теорема Ферма и ее обобщения // Математическое просвещение. Серия 3. — 2008. — Вып. 12. — С. 7–17.Vinberg, E.B. 2008, “Fermat’s little theorem and generalizations”, Matematicheskoe Prosveshchenie, 12, pp. 43–54.Зарелуа А. В. О сравнениях для следов степеней некоторых матриц // Труды Математического института имени В. А. Стеклова. — 2008. — Т. 263. — С. 85–105.Zarelua, A.V. 2008, “On congruences for the traces of powers of some matrices”, Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 263, pp. 78–98.Трахтман Ю. А. О делимости некоторых разностей, составленных из биномиальных коэффициентов // Доклады Академии наук Армянской ССР. — 1974. — Т. 59. — С. 10–16.Trachtman, Yu.A. 1974, “On the divisibility of certain differences, formed from binomial coefficients”, Doklady Akademii Nauk Armyanskoi SSR, 59, pp. 10–16.Byszewski J., Graff G., Ward T. Dold sequences, periodic points, and dynamics // Bulletin of the London Mathematical Society. — 2021. — Vol. 53. — P. 1263–1298.Byszewski, J., Graff, G., and Ward, T. 2021, “Dold sequences, periodic points, and dynamics”, Bulletin of the London Mathematical Society, 53, pp. 1263–1298.Brun V., Stubban J. O., Fjeldstad J. E., Tambs-Lyche R., Aubert K. E., Ljunggren W., Jacobsthal E. On the divisibility of the difference between two binomial coefficients // Den 11te Skandinaviske Matematikerkongress, Trondheim 1949. — 1952. — P. 42–54.Brun, V., Stubban, J.O., Fjeldstad, J.E., Tambs-Lyche, R., Aubert, K.E., Ljunggren, W., and Jacobsthal, E. 1952, “On the divisibility of the difference between two binomial coefficients”, in Den 11te Skandinaviske Matematikerkongress, Trondheim 1949, pp. 42–54.Deligne P. Extended Euler congruence // Functional Analysis and Other Mathematics. — 2009. — Vol. 2. — P. 249–250.Deligne, P. 2009, “Extended Euler congruence”, Functional Analysis and Other Mathematics, 2, pp. 249–250.Jacobsthal E. Tallteoretiske egenskaper ved binominalkoeffisientene // Norske Videnskabers Selskabs Skrifter (Trondheim). — 1945. — No. 4. — P. 1–28.Jacobsthal, E. 1945, “Tallteoretiske egenskaper ved binominalkoeffisientene”, Norske Videnskabers Selskabs Skrifter (Trondheim), 4, pp. 1–28.J¨anichen W. ¨Uber die Verallgemeinerung einer Gaussschen Formel aus der Theorie der h¨oheren Kongruenzen // Sitzungsberichte der Berliner Mathematischen Gesellschaft. — 1921. — Vol. 20. — P. 23–29.J¨anichen, W. 1921, “ ¨Uber die Verallgemeinerung einer Gaussschen Formel aus der Theorie der h¨oheren Kongruenzen”, Sitzungsberichte der Berliner Mathematischen Gesellschaft, 20, pp. 23–29.Ljunggren W. Eine Eigenschaft der mittleren Binomialkoeffizienten // Norsk Matematisk Tidsskrift. — 1942. — Vol. 24. — P. 18–22.Ljunggren, W. 1942, “Eine Eigenschaft der mittleren Binomialkoeffizienten”, Norsk Matematisk Tidsskrift, 24, pp. 18–22.Minton G. T. Linear recurrence sequences satisfying congruence conditions // Proceedings of the American Mathematical Society. — 2014. — Vol. 142, No. 7. — P. 2337–2352.Minton, G.T. 2014, “Linear recurrence sequences satisfying congruence conditions”, Proceedings of the American Mathematical Society, 142(7), pp. 2337–2352.Schur I. Arithmetische Eigenschaften der Potenzsummen einer algebraischen Gleichung // Compositio Mathematica. — 1937. — Vol. 272. — P. 432–444.Schur, I. 1937, “Arithmetische Eigenschaften der Potenzsummen einer algebraischen Gleichung”, Compositio Mathematica, 272, pp. 432–444.Sch¨onemann T. Grundz¨uge einer allgemeinen Theorie der h¨ohern Congruenzen, deren Modul eine reelle Primzahl ist // Journal f¨ur die reine und angewandte Mathematik. — 1846. — Vol. 31. — P. 269–325.Sch¨onemann, T. 1846, “Grundz¨uge einer allgemeinen Theorie der h¨ohern Congruenzen, deren Modul eine reelle Primzahl ist”, Journal f¨ur die reine und angewandte Mathematik, 31, pp. 269–325.Smith J. H. Combinatorial Congruences from p-subgroups of the Symmetric Group // Graphs and Combinatorics. — 1993. — Vol. 9. — P. 293–304.Smith, J.H. 1993, “Combinatorial Congruences from p-subgroups of the Symmetric Group”, Graphs and Combinatorics, 9, pp. 293–304.Smyth C. J. A coloring proof of a generalization of Fermat’s little theorem // The American Mathematical Monthly. — 1986. — Vol. 93. — P. 469–471.Smyth, C.J. 1986, “A coloring proof of a generalization of Fermat’s little theorem”, The American Mathematical Monthly, 93, pp. 469–471.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.