В данной статье мы завершаем описание подгрупп, порожденных парой 2-торов в GL(𝑛,𝐾). Напомним, что 2-торами в GL(𝑛,𝐾) называются подгруппы сопряженные диа-гональной подгруппе вида diag(𝜀, 𝜀, 1, . . . , 1). В работе [2] была доказана теорема редукции для пары 𝑚-торов. Из неё следует, что любая пара 2-торов может быть вложена в GL(6,𝐾) одновременным сопряжением. Орбита пары 2-торов (𝑋, 𝑌 ) называется орбитой в GL(𝑛,𝐾), если пара (𝑋, 𝑌 ) вкладывается в GL(𝑛,𝐾) одновременным сопряжением и не вкладывается GL(𝑛 − 1,𝐾). Ясно, что 𝑛 может принимать значения 3, 4, 5 и 6. В той же работе были описаны орбиты и порождения парами 2-торов в GL(6,𝐾). В последующих работах были описаны пары 2-торов в GL(5,𝐾), орбиты пары 2-торов в GL(4,𝐾) и порождения в GL(4,𝐾), соответствующие вырожденным случаям (редуктивная часть группы не более, чем GL(2,𝐾)). В этой работе мы описываем невырожденные случаи пар 2-торов в GL(4,𝐾) и, таким образом, завершаем описание. Наиболее сложно устроенными подгруппами оказываются группы, у которых редуктивная часть совпадает с SL(2,𝐾) × SL(2,𝐾) или SL(2,𝐿), где [𝐿 : 𝐾] = 2.
In the present paper we complete the description of the subgroups generated by a pair of 2-tori in GL(𝑛,𝐾). Recall that 2-tori in GL(𝑛,𝐾) are the subgroups conjugate to the diagonalsubgroup of the following form diag(𝜀, 𝜀, 1, . . . , 1). In work [2] the reduction theorem for the pairs of 𝑚-tori was proved. It follows from it that any pair of 2-tori can be embedded inGL(6,𝐾) by simultaneous conjugation. The orbit of a pair of 2-tori (𝑋, 𝑌 ) is called the orbit in GL(𝑛,𝐾), if the pair (𝑋, 𝑌 ) is embedded in GL(𝑛,𝐾) by simultaneous conjugation and it can not be embedded in GL(𝑛 − 1,𝐾). It is clear that 𝑛 can take values 3, 4, 5 and 6. In the same work the orbits and spans of 2-tori in GL(6,𝐾) were described. In the subsequent papers we described the pairs of 2-tori in GL(5,𝐾), the orbits of pairs of 2-tori in GL(4,𝐾) and the spans in GL(4,𝐾) corresponding to degenerate cases (the reductive part of the group is not larger than GL(2,𝐾)). In this paper we describe undegenerate cases of pairs of 2-tori in GL(4,𝐾). Thus we complete our description. The most difficult subgroups turns out the groups with a reductive part SL(2,𝐾) × SL(2,𝐾) or SL(2,𝐿), where [𝐿 : 𝐾] = 2.