Статья продолжает цикл работ первого автора, посвящённых сходимости последовательностей и рядов в многомерных локальных и полных полях.Многомерные поля представляют собой цепочку дискретно нормированных полей, в которой каждое следующее – поле вычетов предыдущего. В итоге элементы записываютсяв виде ряда, причем при использовании стандартной топологии дискретного нормирования ряды, определяющие элементы поля, не обязательно будут сходиться. Поэтому намногомерных полных полях используют сложно сконструированную топологию Паршина, учитывающую топологии полей вычетов (см. [15], [5] и [6]). В ней ряды всех элементов многомерного поля сходятся. Однако и в топологии Паршина не выполнено другое важное свойство – сходимость всех степенных рядов с коэффициентами из кольца целых при подстановке вместо переменной элемента максимального идеала.В [9] первым автором введено понятия множества сходимости – то есть такого, что ряд с коэффициентами из этого множества сходится на максимальном идеале, и доказан критерий множества сходимости. В [10] множества сходимости исследуются при помощи их мультииндексов, составляющих моноид сходимости, а в [8] конструируются кольца, являющиеся множествами сходимости, и изучаются некоторые их свойства. В данной работе выясняется, что аддитивный сдвиг множества сходимости дает множество сходимости, что любое множество сходимости секвенциально замкнуто и что сходящаяся последовательность всегда составляет множество сходимости. Эти утверждения в качестве следствия дают удобное для применения достаточное условие того, что последовательность является бесконечно малой, а также позволяют построить кольцо сходимости, которому принадлежит предел сходящейся последовательности и все ее члены.
This article continues the series of works by the first author on the convergence of sequences and series in multidimensional local and complete fields.Multidimensional fields are a chain of discretely normalized fields, where each subsequent field is the residue field of the previous one. As a result, the elements are represented as aseries, and when using the standard topology of discrete normalization, the series defining the elements of the field may not necessarily converge. Therefore, on multidimensional complete fields, a complexly constructed Parshin topology is used, taking into account the topologies of the residue fields (see [15], [5], and [6]). In this topology, the series of all elements of the multidimensional field converge. However, another important property is not satisfied in the Parshin topology, which is the convergence of all power series with coefficients from the ring of integers when the element of the maximal ideal is substituted for the variable.In [9] by the first author the concept of a convergence set is introduced, which is a set such that a series with coefficients from this set converges on a maximal ideal, and a criterion for aconvergence set is proved. In [10], convergence sets are studied using their multi-indices, which form a convergence monoid, and in [8], rings that are convergence sets are constructed and theirproperties are studied. In this work, it is shown that the additive shift of a convergence set gives a convergence set, that any convergence set is sequentially closed, and that a convergent sequence always forms a convergence set. These statements provide a convenient sufficient condition for a sequence tobe infinitesimal and allow the construction of a convergence ring that contains the limit of a convergent sequence and all its members.