chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2025-26-4-123-138cheb-2074Research ArticleСтатьиArticleНеприводимые подгруппы, порожденные корневыми подгруппами, в группе SL(𝑛,𝐾)Irreducible subgroups generated by root subgroups in the group SL(𝑛,𝐾)КандинскийМаксим АндреевичKandinskiyMaksim Andreevich

аспирант

postgraduate student

kandinsky.maxim@yandex.ruНестеровВладимир ВикторовичNesterovVladimir Vicktorovich

кандидат физико-математических наук

candidate of physical and mathematical sciences

Санкт-Петербургский государственный университетРоссияSaint Petersburg State UniversityRussian Federation202529122025264123138Copyright © Кандинский М.А., Нестеров В.В., 20252025Кандинский М.А., Нестеров В.В.Kandinskiy M.A., Nesterov V.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/2074

В данной работе мы приводим новое доказательство теоремы, в которой описаны неприводимые подгруппы, порождённые корневыми подгруппами, в специальной линейной группе SL(𝑛,𝐾). Впервые это описание появилось в работе Дж. Маклафлина, которая была одной из первых в изучении порождений длинными корневыми унипотентными подгруппами в группах Шевалле. На данный момент геометрия длинных корневых унипотентных подгрупп хорошо изучена. Но остаётся много нерешённых вопросов, связанных с порождениями короткими корневыми унипотентными подгруппами. В частности, неизвестно описание неприводимых подгрупп, порождённых короткими корневыми подгруппами, в исключительных группах Шевалле над произвольным полем. В приводимом доказательстве мы рассматриваем группу SL(𝑛,𝐾) как группу Шевалле типа Aℓ. Таким образом, по мнению авторов, предложенный подход можно перенести на описание неприводимых подгрупп, порождённых короткими корневыми унипотентными подгруппами, в группах Шевалле.

In the present paper we give a new proof of the description of irreducible subgroups generated by root subgroups in special linear group SL(𝑛,𝐾). For the first time such a description wasappeared in J. McLaughlin’s work. His work was one of the first papers dedicated to study of the generations by long root unipotent subgroups in Chevalley groups. At the present time the geometry of long root subgroups is a well-established field. But it remains a lot of unsolved tasks about short root unipotent subgroups. In particular, the description of irreducible subgroupsgenerated by short root subgroups in exceptional Chevalley groups over arbitrary field is unknown. In our proof we consider the group SL(𝑛,𝐾) as the Chevalley group of type Aℓ. Thusin our opinion it is possible to use the given approach for study of the irreducible subgroups generated by short root subgroups in Chevalley groups.

полная линейная группаспециальная линейная группаунипотентные корневые подгруппынеприводимые подгруппы.general linear groupspecial linear groupunipotent root subgroupsirreducible subgroups.ReferencesВавилов Н. А. О геометрии длинных корневых подгрупп в группах Шевалле, Вестник ЛГУ, сер. 1 1988, Вып. 1, 8–11.Vavilov N. A. The geometry of long root subgroups in Chevalley groups, Vestnik Leningrad Univ. Math. 21 (1988), no. 1, 5–10.Вавилов Н. А. Подгруппы групп Шевалле содержащие максимальный тор, Труды Ленингр. Мат. Общества, 1 (1990), 64–109.Vavilov N. A. Subgroups of Chevalley groups that contain a maximal torus, Trudy Leningr. Mat. Obshch., 1 (1990), 64–109.Вавилов Н. А. Подгруппы расщепимых классических групп, Докт. дис. Л., 1987. 336 стр.Vavilov N. A. Subgroups of split classical groups, Dr. Sci. Thesis, Leningrad State Univ., 1987.Залесский А.Е., Сережкин В.Н. Линейные группы, порожденные трансвекциями, Институт математики АН БССР, сер. матем., 40 (1976), no. 1, 26–49.P. (In Russian)Кондратьев А. С. Подгруппы конечных групп Шевалле, Успехи мат. наук, 41 (1986), no. 1, 57–96.Zalesskii A. E. and Serezhkin V. N. Linear groups generated by transvections, Math. USSR-Izv., 10 (1976), no. 1.Нестеров В. В. Пары коротких корневых подгрупп в группе Шевалле, Доклады Академии наук, 357 (1997), 302–305.Kondrat’ev A.S. Subgroups of finite Chevalley groups, Russian Math. Surveys, 41 (1986), no. 1, 65–118.Нестеров В. В. Пары коротких корневых подгрупп в группе Шевалле типа G2, Записки науч. сем. ПОМИ, 281 (2001), 253–273.Nesterov V. V. Pairs of short root subgroups in Chevalley groups, Doklady Mathematics, 56 (1997), no. 3, 870–872.Нестеров В. В. Порождение пар коротких корневых подгрупп в группах Шевалле, Алгебра и анализ, 16 (2004), вып. 6, 172–208.Nesterov V. V. Pairs of Short Root Subgroups in the Chevalley Group of Type G2, J. Math. Sci. (N.Y.), 120 (2004), no. 4, 1630-1641.Нестеров В. В. Подсистемные подгруппы группы типа F4, порожденные короткими корневыми подгруппами, Алгебра и анализ, 31 (2019), вып. 1, 92–107.Nesterov V. V., Generation of pairs of short root subgroups in Chevalley groups, St. Petersburg Math. J. 16 (2005), no. 6, 1051–1077.Carter R. W. Simple groups of Lie type, Pure Appl. Math., 28, Wiley: London et al., 1972.Nesterov V. V. Subsystem subgroups of the group of type F4 generated by short root subgroups, St. Petersburg Math. J. 31 (2020), no. 1, 69–80.Cooperstein B. N. Subgroups of the group E6(𝑞) which are generated by root subgroups, J. Algebra, 46 (1977), 355–388.Carter R. W. Simple groups of Lie type, Pure Appl. Math., 28, Wiley: London et al., 1972.Cooperstein B. N. The geometry of root subgroups in exceptional groups, Geometria dedicata, 8 (1977), no. 3, 317–381; II – 15 (1983), no. 1, 1–45.Cooperstein B. N. Subgroups of the group E6(𝑞) which are generated by root subgroups, J. Algebra, 46 (1977), 355–388.Cooperstein B. N. Geometry of long root subgroups in groups of Lie type, Proc. Symp. Pure Math., 37 (1980), 243–248.Cooperstein B. N. The geometry of root subgroups in exceptional groups, Geometria dedicata, 8 (1977), no. 3, 317–381; II – 15 (1983), no. 1, 1–45.Kantor W. M. Subgroups of classical groups generated by long root elements, Trans. Amer. Math. Soc., 248 (1979), no. 2, 347–379.Cooperstein B. N. Geometry of long root subgroups in groups of Lie type, Proc. Symp. Pure Math., 37 (1980), 243–248.Li Shang Zhi Maximal subgroups containing root subgroups in finite classical groups, Kexue Tongbao, 29 (1984), no. 1, 14–18.Kantor W. M. Subgroups of classical groups generated by long root elements, Trans. Amer. Math. Soc., 248 (1979), no. 2, 347–379.Li Shang Zhi Maximal subgroups in PΩ(𝑛, 𝐹,𝑄) with root subgroups, Sci. Sinica Ser. A, 28 (1985), no. 8, 826–838.Li Shang Zhi Maximal subgroups containing root subgroups in finite classical groups, Kexue Tongbao, 29 (1984), no. 1, 14–18.Li Shang Zhi Maximal subgroups containing short root subgroups in PSp(2𝑛, F), Acta Math. Sinica, New ser., 3 (1987), no. 1, 82–91.Li Shang Zhi Maximal subgroups in PΩ(𝑛, 𝐹,𝑄) with root subgroups, Sci. Sinica Ser. A, 28 (1985), no. 8, 826–838.Liebeck M. W., Seitz G. M. Subgroups generated by root elements in groups of Lie type, Ann. Math., 139 (1994), 293–361.Li Shang Zhi Maximal subgroups containing short root subgroups in PSp(2𝑛, F), Acta Math. Sinica, New ser., 3 (1987), no. 1, 82–91.McLaughlin J. Some groups generated by transvections, Arch. Math., 18 (1967), N 4, 364–368.Liebeck M. W., Seitz G. M. Subgroups generated by root elements in groups of Lie type, Ann. Math., 139 (1994), 293–361.Stark B. S. Some subgroups of Ω(𝑉 ) generated by groups of root type 1, Illinois J. Math., 17 (1973), no. 4, 584–607.McLaughlin J. Some groups generated by transvections, Arch. Math., 18 (1967), N 4, 364–368.Stark B. S. Some subgroups of Ω(𝑉 ) generated by groups of root type, J. Algebra, 17 (1974), no. 1, 33–41.Stark B. S. Some subgroups of Ω(𝑉 ) generated by groups of root type 1, Illinois J. Math., 17 (1973), no. 4, 584–607.Stark B. S. Irreducible subgroups of orthogonal groups generated by groups of root type 1, Pacific J. Math., 53 (1974), no. 2, 611–625.Stark B. S. Some subgroups of Ω(𝑉 ) generated by groups of root type, J. Algebra, 17 (1974), no. 1, 33–41.Stewart D. I. The reductive subgroups of G2, J. Group Theory, 13 (2010), 117–130.Stark B. S. Irreducible subgroups of orthogonal groups generated by groups of root type 1, Pacific J. Math., 53 (1974), no. 2, 611–625.Stewart D. I. The reductive subgroups of F4, Mem. Amer. Math. Soc., 223 (2013), no. 1049.Stewart D. I. The reductive subgroups of G2, J. Group Theory, 13 (2010), 117–130.Timmesfeld F. G. Groups generated by 𝑘-transvections, Invent. Math., 100 (1990), 167–206.Stewart D. I. The reductive subgroups of F4, Mem. Amer. Math. Soc., 223 (2013), no. 1049.Timmesfeld F. G. Groups generated by 𝑘-root subgroups, Invent. Math., 106 (1991), 575–666.Timmesfeld F. G. Groups generated by 𝑘-transvections, Invent. Math., 100 (1990), 167–206.Timmesfeld F. G. Groups generated by 𝑘-root subgroups, Invent. Math., 106 (1991), 575–666.Timmesfeld F. G. Groups generated by 𝑘-root subgroups, Invent. Math., 106 (1991), 575–666.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.