chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2025-26-4-108-122cheb-2073Research ArticleСтатьиArticleявных конструкциях расширений полных полейOn explicit constructions of extensions of complete fieldsЖуковИгорь БорисовичZhukovIgor Borisovich

доктор физико-математических наук, профессор

doctor of physical and mathematical sciences, professor

i.zhukov@spbu.ruИвановаОльга ЮрьевнаIvanovaOlga Yur’evna

кандидат физико-математических наук

candidate of physical and mathematical sciences

olgaiv80@mail.ruСанкт-Петербургский государственный университетРоссияSaint Petersburg State UniversityRussian Federation202529122025264108122Copyright © Жуков И.Б., Иванова О.Ю., 20252025Жуков И.Б., Иванова О.Ю.Zhukov I.B., Ivanova O.Y.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/2073

Статья посвящена применению наборов уравнений Артина – Шрайера для задания 𝑝-расширений Галуа полных дискретно нормированных полей смешанной характеристики.Наряду с обзором известных результатов в этом направлении получены некоторые новые результаты для абелевых 2-расширений. Кроме того, продолжено изучение почти максимально разветвлённых расширений, которые были введены С. В. Востоковым при изучении аддитивных модулей Галуа. Доказывается, что если группа Галуа такого расширения имеет период 𝑝, она обязательно абелева.

This article is devoted to the use of sequences of Artin-Schreier equations to defining 𝑝-Galois extensions of complete discrete valuation fields of mixed characteristic. Along with a review ofknown results in this area, some new results for abelian 2-extensions are obtained. Furthermore, the study of almost maximally ramified extensions introduced by S. V. Vostokov in his study of additive Galois modules is continued. It is proved that if the Galois group of such an extension has period p, it is necessarily abelian.

дискретно нормированное полескачок ветвленияуравнение Артина – Шрайерапочти максимально разветвлённое расширениеdiscrete valuation fieldramification jumpArtin-Schreier equationalmost maximally ramified extensionReferencesБондарко М. В., Востоков С. В., Жуков И. Б. Аддитивные модули Галуа в полных дис-Bondarko, M.V., Vostokov, S.V., and Zhukov, I.B., 1998, “Additive Galois modules in completeкретно нормированных полях // Алгебра и анализ. — 1997. — Т. 9, № 4. — С. 28–46.discretely valued fields”, St. Petersburg Math. J., 9(4), pp. 675-693.Востоков С. В. Идеалы абелева 𝑝-расширения иррегулярного локального поля как модулиVostokov, S.V., 1974, “Ideals of abelian 𝑝-extension of irregular local field as Galois modules”,Галуа // Записки научных семинаров ЛОМИ. — 1974. — Т. 46. — С. 14–35.Zapiski Nauchnykh Seminarov LOMI, 46, pp. 14–35.Востоков С. В. Идеалы абелева 𝑝-расширения локального поля как модули Галуа // За-Vostokov, S.V., 1976, “Ideals of abelian 𝑝-extension of local field as Galois modules”, J. Sovietписки научных семинаров ЛОМИ. — 1976. — Т. 57. — С. 64–84.Math., 11(4), pp. 567–584.Востоков С. В., Жуков И. Б. Некоторые подходы к построению абелевых расширений дляVostokov, S.V., and Zhukov, I.B., 1995, “Some approaches to the construction of abelianp-адических полей // Труды Санкт-Петербургского математического общества. — 1995. —extensions for p-adic fields”, Proceeding of the St. Peterburg Mathematical Society, III, pp.Т. 3. — С. 194–214.–214.Востоков С. В., Жуков И. Б., Иванова О. Ю. Расширения Инабы полных полей характе-Vostokov, S.V., Zhukov, I.B., and Ivanova, O.Y., 2019, “Inaba extensions of complete fields ofристики 0 // Чебышёвский сборник. — 2019. — Т. 20, № 3. — С. 124–133.characteristic 0”, Chebyshevskii Sbornik, 20(3), pp. 124–133.Востоков С. В., Жуков И. Б., Пак Г. К. Расширения с почти максимальной глубинойVostokov, S.V., Zhukov, I.B., and Pak, G.K., 1999, “Extensions with almost maximalветвления // Записки научных семинаров ПОМИ. — 1999. — Т. 265. — С. 77–109.ramification depth”, J. Math. Sci, 112(3), pp. 4285–43022.Востоков С. В., Жуков И. Б., Фесенко И. Б. К теории многомерных локальных полей.Vostokov, S.V., Zhukov, I.B., and Fesenko, I.B., 1991, “On the theory of multidimensional localМетоды и конструкции // Алгебра и анализ. — 1990. — Т. 2, № 4. — С. 91–118.fields. Methods and constructions”, Leningrad Math. J., 2(4), pp. 775–800.Жуков И. Б., Лысенко Е. Ф. Построение циклического расширения степени 𝑝2 полногоZhukov, I.B., and Lysenko, E.F., 2018, “Construction of a cyclic extension of degree 𝑝2 for aполя // Записки научных семинаров ПОМИ. — 2017. — Т. 455. — С. 52–66.complete field”, J. Math. Sci., 234(2), pp. 148-157.Жуков И. Б., Иванова О. Ю. О расширениях Инабы двумерных локальных полей сме-Zhukov, I.B., and Ivanova, O.Y., 2025, “On the Inaba extensions of two-dimensional local fieldsшанной характеристики // Записки научных семинаров ПОМИ. — 2022. — Т. 513. — С.of mixed characteristic”, J. Math. Sci., 288, pp. 305–316.–73.Zhukov, I.B., and Ivanova, O.Y., 2023, “Explicit constructions of extensions of complete fieldsЖуков И. Б., Иванова О. Ю. Явные конструкции расширений полных полей характери-of characteristic 0”, Chebyshevskii Sbornik, 24(2), pp. 179–196.стики 0 // Чебышёвский сборник. — 2023. — Т. 24, № 2. — С. 179–196.Zhukov, I.B., and Ivanova, O.Y., 2024, “Elimination of maximal jumps”, Chebyshevskii Sbornik,Жуков И. Б., Иванова О. Ю. Устранение максимальных скачков // Чебышёвский сборник.(1), pp. 176–183.— 2024. — Т. 25, № 1. — С. 176–183.Ivanova, O.Y., 2025, “Construction of cyclic ferocious extensions by the Inaba equation”, J.Иванова О. Ю. Задание свирепого циклического расширения уравнением Инабы // За-Math. Sci., 288, pp. 317–324.писки научных семинаров ПОМИ. — 2022. — Т. 513. — С. 74–84.Iwasawa, K., 1986, Local Class Field Theory, Oxford University Press, 155 p.Ивасава К. Локальная теория полей классов. — М.: Мир, 1983. — 220 с.Cassels, J.W.S., and Fr¨ohlich, A. (eds), 1967, Algebraic Number Theory, London: AcademicАлгебраическая теория чисел / под ред. Дж. Касселса, А. Фрёлиха. — М.: Мир, 1969. —Press, 366 p.с.Fesenko, I.B., and Vostokov, S.V., 2002, Local Fields and Their Extensions: A ConstructiveFesenko I. B., Vostokov S. V. Local Fields and Their Extensions: A Constructive Approach. —Approach, 2nd ed., Providence: American Mathematical Society, 172 p.nd ed. — Providence: American Mathematical Society, 2002. — 172 с.Hyodo, O., 1987, “Wild ramification in the imperfect residue field case”, in Galois RepresentationsHyodo O. Wild ramification in the imperfect residue field case // Galois Representations andand Arithmetic Algebraic Geometry, Amsterdam: North-Holland, pp. 287–314.Arithmetic Algebraic Geometry. — Amsterdam: North-Holland, 1987. — Vol. 12. — P. 287–314.Inaba, E., 1961, “On matrix equations for Galois extensions of fields with characteristic p”,— (Advanced Studies in Pure Mathematics).Natural Science Report of the Ochanomizu University, 12, pp. 26–36.Inaba E. On matrix equations for Galois extensions of fields with characteristic p // NaturalLubin, J., and Tate, J., 1965, “Formal complex multiplication in local fields”, Annals ofScience Report of the Ochanomizu University. — 1961. — Vol. 12. — P. 26–36.Mathematics, 81, pp. 380–387.Lubin J., Tate J. Formal complex multiplication in local fields // Annals of Mathematics. —MacKenzie, R.E., and Whaples, G., 1956, “Artin–Schreier equations in characteristic zero”,— Vol. 81. — P. 380–387.American Journal of Mathematics, 78, pp. 473–485.MacKenzie R. E., Whaples G. Artin–Schreier equations in characteristic zero // AmericanSerre, J.-P., 1979, Local Fields, Springer, 241 p.Journal of Mathematics. — 1956. — Vol. 78. — P. 473–485.Xiao, L., and Zhukov, I., 2015, “Ramification in the imperfect residue field case, approachesSerre J.-P. Local Fields. — Springer, 1979. — 241 с.and questions”, St. Petersburg Math. J., 26(5), pp. 695–740.Xiao L., Zhukov I. Ramification in the imperfect residue field case, approaches and questionsXiao, L., and Zhukov, I., 2014, “Ramification in the imperfect residue field case, approaches and// Алгебра и анализ. — 2014. — Т. 26, № 5. — С. 1–63.questions”, in Valuation Theory in Interaction: Proceedings of the 2nd International ConferenceXiao L., Zhukov I. Ramification in the imperfect residue field case, approaches and questions //and Workshop on Valuation Theory, Z¨urich: European Mathematical Society, pp. 600–656.Valuation Theory in Interaction: Proceedings of the 2nd International Conference andWorkshopZhukov, I., 2000, “Explicit abelian extensions of complete discrete valuation fields”, in Invitationon Valuation Theory. — Z¨urich: European Mathematical Society, 2014. — P. 600–656.to Higher Local Fields, edited by Fesenko, I., and Kurihara, M., Geometry and TopologyZhukov I. Explicit abelian extensions of complete discrete valuation fields // Invitation toMonographs, 3, pp. 117–122.Higher Local Fields / ed. by I. Fesenko, M. Kurihara. — Geometry and Topology Monographs,Higher Local Fields / ed. by I. Fesenko, M. Kurihara. — Geometry and Topology Monographs,— Vol. 3. — P. 117–122.— Vol. 3. — P. 117–122.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.