Данная статья посвящена исследованию ассоциированных модулей и порядков Галуа для вполне разветвленных расширений полей дискретного нормирования. Основное внимание уделяется явным вычислениям и построению базисов для этих модулей, в частностив случае элементарных абелевых расширений степени 𝑝2. Авторы вводят и развивают теорию градуированно-независимых множеств и диагональных базисов, которые позволяют явно описывать модули 𝛾𝑖 и соответствующие ассоциированные порядки. Центральный результат работы — теорема 3.3.2, которая дает явное описание модулей 𝛾𝑖 для расширений с группой Галуа (Z/𝑝Z)2 и различными по модулю 𝑝2 скачками ветвления. В работеисследованы свойства введенных конструкций, в том числе их поведение относительно подъема на ручные расширения и связь с классическими ассоциированными порядками.Полученные результаты обобщаются на случай относительных ассоциированных модулей 𝛾0𝑖 = 𝛾𝑖 ∩𝑘0[𝐺], где 𝑘0 ⊂ 𝑘. В работе используется построенный ранее первым автором изоморфизм между между 𝐾 ⊗𝑘 𝐾 и 𝐾[𝐺], и представлен детальный анализ фильтраций на тензорных квадратах и их связи со структурой модулей Галуа. Статья может представлять интерес для специалистов по теории чисел и арифметической геометрии.
The paper provides a comprehensive investigation of associated Galois modules and orders for totally ramified extensions of complete discrete valuation fields. The authors focus on explicit computations and systematic construction of bases for these modules, with particular emphasis on elementary abelian extensions of degree 𝑝2. The study introduces and develops the theory of graded-independent sets and diagonal bases, which enable constructive description of the modules 𝛾𝑖 and related associated orders. The central achievement is Theorem 3.3.2, which provides an explicit computation of the modules 𝛾𝑖 for extensions with Galois group (Z/ 𝑝Z)2 and ramification jumps distinct modulo 𝑝2. The paper thoroughly examines properties of the introduced constructions, including their relationship with classical associated orders and the behaviour under tame lifts. The obtained results are generalized to the case of relative associated modules 𝛾0𝑖 = 𝛾𝑖 ∩𝑘0[𝐺], where 𝑘0 ⊂ 𝑘. The paper extensively utilizes the isomorphism between 𝐾 ⊗𝑘𝐾 and 𝐾[𝐺] constructed by the first author, and presents a detailed analysis of filtrations on tensor squares and their connection to Galois module structure. Respectively, the text canbe interesting to specialists in algebraic number theory and arithmetic geometry.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.