Рассматриваются связанные с симметрией свойства замкнутых выпук лых многогранников в трёхмерном евклидовом пространстве. Тематика работы частично относится к задаче обобщения класса правильных (пла тоновых) многогранников. Исторически первым таким обобщением были равноугольно-полуправильные (архимедовы) многогранники. Направле ние обобщения правильных многогранников, рассматриваемое автором в данной работе связано с осями симметрии выпуклого многогранника. Выпуклый многогранник называется симметричным, если он имеет хо тя бы одну нетривиальную ось симметрии. Все оси симметрии многогранника пересекаются в одной точке, которая называется центром многогран ника. Все рассматриваемые в работе многогранники являются многогран никами с центром. Ранее были перечислены все многогранники, сильно симметричные относительно вращения граней, а также метрически двойственные им многогранники, сильно симметричные относительно вращения многогран ных углов [9] – [15]. Интересно отметить, что среди сильно симметрич ных многогранников есть ровно восемь таких, которые не являются даже комбинаторно эквивалентными архимедовым, или равноугольно полупра вильным многогранникам. По определению, свойство сильной симметричности многогранника требует глобальной симметричности многогранника относительно каждой оси симметрии, перпендикулярной грани многогранника. Поэтому пред ставляет интерес нахождение более слабых условий симметрии на элемен ты многогранника. Дано новое доказательство локального критерия сильной симметрич ности многогранника, которое основано на свойствах осей двух последо вательных вращений. Рассмотрены также два класса многогранников, обобщающих поня тие сильно симметричного относительно вращения граней многогранника: класс многогранников с изолированными несимметричными гранями и класс многогранников с изолированными несимметричными поясами. Доказано, что каждый многогранник с изолированными несимметрич ными гранями может быть получен путём отсечения вершин или рёбер некоторого многогранника, сильно симметричного относительно враще ния граней; а каждый многогранник с изолированными несимметричными поясами-путём надстраивания осесимметричных усечённых пирамид на некоторых гранях одного из сильно симметричных относительно враще ния граней многогранника. При этом в каждом из этих классов существует многогранник с наибольшим числом граней, не считая двух бесконечных серий: усечённых призм; усечённых по двум вершинам и удлинённых би пирамид.
The paper deals with the symmetry properties of the associated closed convex polyhedra in three-dimensional Euclidean space. Themes work relates in part to the problem of generalization class of regular (Platonic) polyhedra. Historically, the first such generalizations are equiangularly-semiregular (Archimedean) polyhedra. The direction of generalization of regular polyhedra, considered by the author in this paper due to the symmetry axes of the convex polyhedron. A convex polyhedron is called symmetric if it has at least one non-trivial symmetry axis. All the axis of symmetry of the polyhedron intersect at one point called the center of the polyhedron. All considered the polyhedra are polyhedra with the center. Previously we listed all polyhedra, strongly symmetrical with respect to rotation of faces, as well as their dual-metrically polyhedra strongly symmetric with respect to the rotation polyhedral angles [9]–[15]. It is interesting to note that among the highly symmetric polyhedra there are exactly eight of which are not even equivalent to combinatorial Archimedean or equiangularly semiregular polyhedra. By definition, the property of strong symmetry polyhedron requires a global symmetry of the polyhedron with respect to each axis of symmetry perpendicular to the faces of the polyhedron. It is therefore of interest to find weaker conditions on the symmetry elements of the polyhedron. We give a new proof of the local criterion of strong symmetry of the polyhedron, which is based on the properties of the axes of two consecutive rotations. We also consider two classes of polyhedra that generalize the concept of a strongly rotationally symmetrical faces of: a class of polyhedra with isolated asymmetrical faces and the class of polyhedra with isolated asymmetrical zone. It is proved that every polyhedron with isolated asymmetrical faces can be obtained by cutting off the vertices or edges of a polyhedron, highly symmetrical with respect to rotation faces; and each polyhedron with isolated asymmetrical zone by build axially symmetric truncated pyramids on some facets of one of the highly symmetric with respect to rotation of the faces of the polyhedron.In each of these classes there are the largest number of polyhedron faces excluding two infinite series: truncated prisms; truncated on two apex and elongated bipyramid.