chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2025-26-3-385-405cheb-2027Research ArticleИстория математики и приложенийСomputer scienceДискретный эргодический метод академика Ю. В. ЛинникаDiscrete ergodic method of academician Yu. V. LinnikПачевУрусби МухамедовичPachevUrusbi Mukhamedovich

доктор физико-математических наук, профессор

doctor of physical and mathematical sciences, professor

urusbi@rambler.ruКабардино-Балкарский государственный университет им. Х. М. БербековаРоссияBerbekov Kabardino-Balkarian State UniversityRussian Federation202501112025263385405Copyright © Пачев У.М., 20252025Пачев У.М.Pachev U.M.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/2027

Данная статья посвящена 110-летию со дня рождения выдающегося математика с мировым именем академика Юрия Владимировича Линника и его дискретному эргодическому методу в теории чисел. Сначала приводятся биографические сведения о Ю.В. Линнике. Затем после краткого изложения необходимых сведений из арифметики кватернионов, включая теорию поворотов кватернионов, построенную Б. А. Венковым, рассматривается сама идея дискретного эргодического метода (далее ДЭМ), принадлежащая Ю.В. Линнику.Следующая часть статьи посвящена изложению эргодической теоремы в случае кватернионов и ее применению к вопросу об асимптотике целых точек по областям на сфере при растущем радиусе.После этого рассматриваются применения ДЭМ к неопределенным тернарным квадратичным формам, соответствующим случаям распределения целых точек на гиперболоидах, при этом вместо кватернионов используется аппарат арифметики матриц второгопорядка. Изложение статьи завершается постановкой некоторых нерешенных задач, связанных с применениями ДЭМ, и списком литературы.

This article is dedicated to the 110th anniversary of the birth of the outstanding world — famous mathematician Academician Yu. V. Linnik and his discrete ergodic method. First, biographical information about Yu. V. Linnik is given. Then, after a brief presentation of the necessary information from the arithmetic of quaternions including the theory of quaternion rotations constructed by B. A. Venkov, the very idea of the discrete ergodic method (hereinafter DEM), belonging to Yu. V. Linnik, is considered.The next part of the article is devoted to the presentation of the ergodic theorem in the case of quaternions and its application to the question of the asymptotics of integer points over regions on a sphere with increasing radius.After this applications of the DEM to indefinite ternary quadratic forms corresponding to cases of integer point distributions on hyperboloids, using second-order matrix arithmetic instead of quaternions.The article concludes with a statement of some unsolved problems related of DEM and a list of references.

Юрий Владимирович Линникдискретныйэргодическийметод(ДЭМ)кватернионматрица второго порядкаасимптотическое распределение целых точек на сферах и гиперболоидах.Yuri Vladimirovich Linnikdiscrete ergodic method (DEM)quaternion matrix of the second orderergodic theoremasymptotic distribution of integer points of spheres and hyperboloids.ReferencesЛинник Ю.В. Обобщение теоремы Frobenius’а и установление связи ее с теоремой Hurwitz’а о композиции квадратичных форм. — Изв. АН СССР. Сер. мат., 1938, Т. 2, №1, С. 41-52.Linnik, Y.V. 1938, “Generalization of Frobenius’ theorem and establishing its connection with Hurwitz’ theorem on the composition of quadratic forms”, Izv. AN SSSR. Ser. mat., Vol. 2, No. 1, pp. 41-52.Линник Ю.В. Несколько новых теорем о представлении больших чисел отдельными положительными тернарными квадратичными формами // ДАН СССР, 1939, Т. 24, №3, С. 211-212.Linnik, Y.V. 1939, “Several new theorems on the representation of large numbers by individual positive ternary quadratic forms”, DAN SSSR, Vol. 24, No. 3, pp. 211-212.Линник Ю.В. О представлении больших чисел положительными тернарными квадратичными формами // ДАН СССР, 1939, Т. 25, №7, С. 578.Linnik, Y.V. 1939, “On the representation of large numbers by positive ternary quadratic forms”, DAN SSSR, Vol. 25, No. 7, p. 578.Линник Ю.В. Одна общая теорема о представлении чисел отдельными тернарными квадратичными формами // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1939, Т. 3, №1, С. 87-108.Linnik, Y.V. 1939, “A general theorem on the representation of numbers by individual ternary quadratic forms”, Izv. AN SSSR. Ser. mat., Vol. 3, No. 1, pp. 87-108.Linnik Y. V. On certain results relating to positive ternary quadratic forms // Мат. сб., 1939, Т. 5, вып. 3, С. 453-471.Linnik, Y.V. 1939, “On certain results relating to positive ternary quadratic forms”, Mat. sb., Vol. 5, Issue 3, pp. 453-471.Линник Ю.В. О представлении больших чисел положительными тернарными квадратичными формами. Тезисы к дис. на соискание ученой степени канд. физ.-мат. наук. — Л. 1940. 21 С.Linnik, Y.V. 1940, “On the representation of large numbers by positive ternary quadratic forms. Theses for the degree of Candidate of Physical and Mathematical Sciences”, Leningrad, 21 p.Линник Ю.В. О представлении больших чисел положительными тернарными квадратичными формами // Изв. АН СССР, сер. матем., 1940, С. 363-402.Linnik, Y.V. 1940, “On the representation of large numbers by positive ternary quadratic forms”, Izv. AN SSSR, ser. matem., pp. 363-402.Линник Ю.В. Эргодические свойства алгебраических полей. Л., 1967. 208 С.Linnik, Y.V. 1967, Ergodic properties of algebraic fields, Leningrad, 208 p.Венков Б. А. Об арифметике кватернионов // Изд-во Российской АН, 1922 (Второе сообщение)Venkov, B.A. 1922, “On the arithmetic of quaternions”, Publishing House of the Russian Academy of Sciences (Second report).Малышев А. В. О представлении целых чисел положительными квадратичными формами // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР, Т. 65. М-Л. Изд-во АН СССР, 1962, 212 С.Malyshev, A.V. 1962, “On the representation of integers by positive quadratic forms”, Trudy Mat. in-ta im. V.A. Steklova AN SSSR, Vol. 65, Moscow-Leningrad, Publishing House of the Academy of Sciences of the USSR, 212 p.Malyshev A. V. Yu. V. Linnik’s ergodic method in number theory // Acta Arithmetica XXII (1975) pp. 555-598.Malyshev, A.V. 1975, “Yu. V. Linnik’s ergodic method in number theory”, Acta Arithmetica, Vol. XXII, pp. 555-598.Кассельс Дж. Рациональные квадратичные формы. — М.: Мир. 1982. 440 С.Cassels, J. 1982, Rational quadratic forms, Mir Publishers, Moscow, 440 p.Вон Р. Метод Харди-Литтлвуда. — М.: Мир. 1985.Wong, R. 1985, The Hardy-Littlewood method, Mir, Moscow.Линник Ю.В. Кватернионы и числа Кэли: некоторые приложения арифметики кватернионов // Успехи мат. наук. 1949. Т. 4, вып. 5, С. 49-98.Linnik, Y.V. 1949, “Quaternions and Cayley numbers: some applications of quaternion arithmetic”, Uspekhi mat. nauk, Vol. 4, Issue 5, pp. 49-98.Линник Ю.В., Малышев А. В. О целых точках на сфере // ДАН СССР, 1953, №2, С. 209-211.Linnik, Y.V. and Malyshev, A.V. 1953, “On integer points on the sphere”, DAN SSSR, No. 2, pp. 209-211.Линник Ю.В. Асимптотическое распределение целых точек на сфере // ДАН СССР, 1954, Т. 96, №5, С. 909-912.Linnik, Y.V. 1954, “Asymptotic distribution of integer points on the sphere”, DAN SSSR, Vol. 96, No. 5, pp. 909-912.Линник Ю.В. Асимптотическое распределение приведенных бинарных квадратичных форм в связи с геометрией Лобачевского // Вестн. ЛГУ, 1955, №2. Сер. мат., физ., хим., вып. 1, С. 3-23.Linnik, Y.V. 1955, “Asymptotic distribution of reduced binary quadratic forms in connection with Lobachevsky geometry”, Vestn. LGU, No. 2, Ser. mat., fiz., him., Issue 1, pp. 3-23.Линник Ю.В. Асимптотическая геометрия гауссовых родов; аналог эргодической теоремы. ДАН СССР, 1956, Т. 108, №6, С. 1018-1021.Linnik, Y.V. 1956, “Asymptotic geometry of Gaussian genera; analogue of the ergodic theorem”, DAN SSSR, Vol. 108, No. 6, pp. 1018-1021.Скубенко Б. Ф. Асимптотическое распределение целых точек на однополостном гиперболоиде и эргодические теоремы // Изв. АН СССР. сер. матем. 26, №5 (1962) С. 721-752.Skubenko, B.F. 1962, “Asymptotic distribution of integer points on a one-sheeted hyperboloid and ergodic theorems”, Izv. AN SSSR. ser. matem., Vol. 26, No. 5, pp. 721-752.Малышев А. В., Пачев У. М. Об арифметике матриц второго порядка // Записки научных семинаров ЛОМИ. 1980. Т. 93, С. 87-141.Malyshev, A.V. and Pachev, U.M. 1980, “On the arithmetic of second-order matrices”, Zapiski nauchnykh seminarov LOMI, Vol. 93, pp. 87-141.Малышев А. В. О применении дискретного эргодического метода в аналитической арифметике неопределенных тернарных квадратичных форм // Зап. научн. семин. ЛОМИ. 1980. Т. 93. С. 5-23.Malyshev, A.V. 1980, “On the application of the discrete ergodic method in the analytical arithmetic of indefinite ternary quadratic forms”, Zap. nauchn. semin. LOMI, Vol. 93, pp. 5-23.Пачев У. М. О распределении целых точек на некоторых двуполостных гиперболоидах // Зап. научн. семин. ЛОМИ. — 1980. Т. 93. С. 87-141.Pachev, U.M. 1980, “On the distribution of integer points on some two-sheeted hyperboloids”, Zap. nauchn. semin. LOMI, Vol. 93, pp. 87-141.Малышев А. В., Нгуен Нгор Гой. О распределении целых точек на некоторых однополостных гиперболоидах // Зап. научн. семин. ЛОМИ. 1983. Т. 121. С. 83-93.Malyshev, A.V. and Nguyen Ngoc Goy 1983, “On the distribution of integer points on some one-sheeted hyperboloids”, Zap. nauchn. semin. LOMI, Vol. 121, pp. 83-93.Карпов А. Н. О представлении целых чисел изотропными квадратичными формами // Зап. научн. семин. ЛОМИ. 1986. Т. 151. С. 66-67.Karpov, A.N. 1986, “On the representation of integers by isotropic quadratic forms”, Zap. nauchn. semin. LOMI, Vol. 151, pp. 66-67.Малышев А. В., Широков Б. М. Новое доказательство ключевой леммы дискретного эргодического метода для вектор-матриц второго порядка // Вестник Ленингр. ун-та. 1991. С. 34-40.Malyshev, A.V. and Shirokov, B.M. 1991, “A new proof of the key lemma of the discrete ergodic method for second-order vector-matrices”, Vestnik Leningr. un-ta, pp. 34-40.Malyshev A. V. Discrete ergodic method and applications to the aritmetic of ternary quadratic forms // Topics in classical number theory. Budapest. — 1981. V. 34. P. 1023-1049.Malyshev, A.V. 1981, “Discrete ergodic method and applications to the arithmetic of ternary quadratic forms”, Topics in classical number theory, Budapest, Vol. 34, pp. 1023-1049.Пачев У. М. Представление целых чисел изотропными тернарными квадратичными формами // Изв. РАН. — 2006. Сер. матем. Т. 70, №3. — С. 167-184.Pachev, U.M. 2006, “Representation of integers by isotropic ternary quadratic forms”, Izv. RAN. Ser. matem., Vol. 70, No. 3, pp. 167-184.Линник Ю.В. Асимптотическая геометрия гауссовых родов; аналог эргодической теоремы // Докл. АН СССР. — 1956. Т. 108, №6. — С. 1018-1021.Linnik, Y.V. 1956, “Asymptotic geometry of Gaussian genera; an analogue of the ergodic theorem”, Dokl. AN SSSR, Vol. 108, No. 6, pp. 1018-1021.Малышев А. В., Пачев У. М. О числе классов целочисленных положительных бинарных квадратичных форм, арифметический минимум которых делится на заданное число // Алгебра и теория чисел. Нальчик. 1979. — Вып. 4. — С. 33-37.Malyshev, A.V. and Pachev, U.M. 1979, “On the number of classes of integer positive binary quadratic forms whose arithmetic minimum is divisible by a given number”, Algebra i teoriya chisel, Nalchik, Issue 4, pp. 33-37.Пачев У. М. О числе классов гауссового рода, арифметический минимум которых делится на квадрат заданного нечетного числа // Математические заметки. 1994. — Т. 55. — №2. — С. 118-127.Pachev, U.M. 1994, “On the number of classes of Gaussian genus whose arithmetic minimum is divisible by the square of a given odd number”, Matematicheskie zametki, Vol. 55, No. 2, pp. 118-127.Пачев У. М. Эргодические свойства потоков положительных бинарных квадратичных форм в гауссовых родах // Зап. научн. семин. ЛОМИ РАН. — 1997. — Т. 236. — С. 149-161.Pachev, U.M. 1997, “Ergodic properties of flows of positive binary quadratic forms in Gaussian genera”, Zap. nauchn. semin. LOMI RAN, Vol. 236, pp. 149-161.Пачев У. М. О распределении приведенных положительных бинарных квадратичных форм с условием делимости первых коэффициентов по классам вычетов // Ученые записки Орловского университета. — 2012. №6 (50). — С. 177-182.Pachev, U.M. 2012, “On the distribution of reduced positive binary quadratic forms with the condition of divisibility of the first coefficients by residue classes”, Uchenye zapiski Orlovskogo universiteta, No. 6 (50), pp. 177-182.Пачев У. М. О распределении приведенных неопределенных бинарных квадратичных форм с условием делимости первых коэффициентов по классам вычетов // Чебышевский сборник. 2013. — Т. 14. — Вып. 2 (46). — С. 139-150.Pachev, U.M. 2013, “On the distribution of reduced indefinite binary quadratic forms with the condition of divisibility of the first coefficients by residue classes”, Chebyshevskii sbornik, Vol. 14, Issue 2 (46), pp. 139-150.Пачев У. М. Асимптотическое распределение классов положительных бинарных квадратичных форм с условиями делимости коэффициентов // Фундаментальная прикладная математика. 2005. — Т. 11 (6). — С. 123-130.Pachev, U.M. 2005, “Asymptotic distribution of classes of positive binary quadratic forms with conditions of divisibility of coefficients”, Fundamentalnaya prikladnaya matematika, Vol. 11 (6), pp. 123-130.Пачев У. М. Об асимптотике числа приведенных целочисленных бинарных квадратичных форм с условием делимости первых коэффициентов // Сибирский математический журнал. — 2007. — Т. 48. №2. — С. 376-388.Pachev, U.M. 2007, “On the asymptotics of the number of reduced integer binary quadratic forms with the condition of divisibility of the first coefficients”, Sibirskii matematicheskii zhurnal, Vol. 48, No. 2, pp. 376-388.Голубева Е. П. О представлении больших чисел тернарными квадратичными формами // Докл. АН СССР. 1970. Т. 91, №3. С. 519-521.Golubeva, E.P. 1970, “On the representation of large numbers by ternary quadratic forms”, Dokl. AN SSSR, Vol. 91, No. 3, pp. 519-521.Быковский В. А. Арифметико-аналитические свойства бинарных положительно определенных квадратичных форм // Зап. научн. семин. ЛОМИ. 1985. Т. 144. С. 5-20.Bykovsky, V.A. 1985, “Arithmetico-analytic properties of binary positive definite quadratic forms”, Zap. nauchn. semin. LOMI, Vol. 144, pp. 5-20.Duke W. Hyperbolic distribution problems and half-integral weight Maas forms // Invent. math. — 1988. V 92, №1. p. 78-90.Duke, W. 1988, “Hyperbolic distribution problems and half-integral weight Maas forms”, Invent. math., Vol. 92, No. 1, pp. 78-90.Голубева Е. П. Геодезические на верхней полуплоскости и распределение квадратичных иррациональностей // Зап. научн. семин. ЛОМИ РАН. 1988. Т. 254. С. 28-55.Golubeva, E.P. 1988, “Geodesics on the upper half-plane and distribution of quadratic irrationals”, Zap. nauchn. semin. LOMI RAN, Vol. 254, pp. 28-55.Eichler M. Quadratische Formen und ortogonale Gruppen. Berlin, 1952.Eichler, M. 1952, Quadratische Formen und orthogonale Gruppen, Berlin.Peters M. Darstellungen durch definite ternare quadratische Formen. Acta arithm. — 1977. Bd. 34, №1.Peters, M. 1977, “Representations by definite ternary quadratic forms”, Acta arithm., Vol. 34, No. 1.Тетерин Ю.Г. О представлении целых чисел положительными тернарными квадратичными формами // Зап. научн. сем. ЛОМИ. Т. 121. Изд-во "Наука". Ленинград 1983, С. 117-156.Teterin, Yu.G. 1983, “On the representation of integers by positive ternary quadratic forms”, Zap. nauchn. sem. LOMI, Vol. 121, Nauka Publishing House, Leningrad, pp. 117-156.Тетерин Ю.Г. Асимптотическая формула для числа представлений вполне положительными тернарными квадратичными формами // Изв. АН СССР. Сер. матем., 1985, том 49, вып. 2. С. 393-426.Teterin, Yu.G. 1985, “Asymptotic formula for the number of representations by completely positive ternary quadratic forms”, Izv. AN SSSR. Ser. matem., Vol. 49, Issue 2, pp. 393-426.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.