chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2025-26-3-358-373cheb-2025Research ArticleИстория математики и приложенийСomputer scienceРассеяние плоской звуковой волны на изотропных телах с полигональной границейScattering of a plane sound wave on isotropic bodies with a polygonal boundaryЛепетковДаниил РуслановичLepetkovDaniil Ruslanovich

аспирант

postgraduate student

Lepetckov@ya.ruТульский государственный университетРоссияTula State UniversityRussian Federation202501112025263358373Copyright © Лепетков Д.Р., 20252025Лепетков Д.Р.Lepetkov D.R.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/2025

Рассматривается задача рассеяния плоской звуковой волны на изотропном, линейно-упругом теле, представленном неструктурированной полигональной сеткой. Проблема исследуется в контексте акустики и эластодинамики. Предлагается эффективный алгоритм на основе метода граничных элементов (BEM) и коллокации для вычисления потенциала рассеянной волны. Основные сложности реализации включают неединственность граничного уравнения, сингулярность интегралов и заполненность матрицы системы. Для ихпреодоления используются комбинированное уравнение Бертона – Миллера, регуляризация с помощью тождеств для функции Грина и разбиение меша на области Вороного.Метод позволяет снизить вычислительные затраты по сравнению с методом конечных элементов (FEM), так как требует разбиения только поверхности объекта. Для валидации разработанного подхода проводится сравнение с аналитическим решением для шара, а также с численными решениями для сложных тел, полученными в COMSOL. Показано, что предложенный алгоритм позволяет эффективно рассчитывать акустические поля дляизотропных тел произвольной формы, представленных полигональными сетками.

The problem of plane acoustic wave scattering on an isotropic, linear-elastic body represented by an unstructured polygonal mesh is considered. The problem is studied in the context of acoustics and elastodynamics. An efficient algorithm based on the boundary element method (BEM) and collocation is proposed for computing the scattered wave potential. The main implementation challenges include the non-uniqueness of the boundary acoustic equation, the singularity of integrals, and the full population of the system matrix. To overcome these issues, the Burton – Miller combined equation, regularization using Green’s function identities, and Voronoi-based mesh partitioning are employed. Compared to the finite element method (FEM),the proposed approach reduces computational costs as it requires discretization of the object’s surface only. The developed method is validated by comparing it with the analytical solution for a sphere and with numerical solutions for complex bodies obtained using COMSOL. The results show that the proposed algorithm effectively computes acoustic fields for isotropic objects of arbitrary shape represented by polygonal meshes.

акустическое рассеяниеэластодинамикаметод граничных элементов (BEM)метод коллокацийполигональная сетка.acoustic scatteringelastodynamicsboundary element method (BEM)collocation methodpolygonal mesh.ReferencesGoodman R.R., Stern R. Reflection and transmission of sound by elastic spherical shells // J. Acoust. Soc. Am. 1962. Vol. 34, № 3. P. 338–344.Goodman, R.R. & Stern, R. 1962. “Reflection and transmission of sound by elastic spherical shells”, J. Acoust. Soc. Am., vol. 34, no. 3, pp. 338–344.Cruse T.A., Rizzo F.J. A direct formulation and numerical solution of the general transient elastodynamic problem. I // J. Math. Anal. Appl. 1968. Vol. 22, № 1. P. 244–259.Cruse, T.A. & Rizzo, F.J. 1968. “A direct formulation and numerical solution of the general transient elastodynamic problem. I”, J. Math. Anal. Appl., vol. 22, no. 1, pp. 244–259.Burton A.J., Miller G.F. The application of integral equation methods to the numerical solution of some exterior boundary-value problems // Proc. R. Soc. Lond. A. Math. Phys. Sci. 1971. Vol. 323, № 1553. P. 201–210.Burton, A.J. & Miller, G.F. 1971. “The application of integral equation methods to the numerical solution of some exterior boundary-value problems”, Proc. R. Soc. Lond. A. Math. Phys. Sci., vol. 323, no. 1553, pp. 201–210.Dom´ınguez J., Abascal R. On fundamental solutions for the boundary integral equations method in static and dynamic elasticity // Eng. Anal. 1984. Vol. 1, № 3. P. 128–134.Dom´ınguez, J. & Abascal R. 1984. “On fundamental solutions for the boundary integral equations method in static and dynamic elasticity”, Eng. Anal., vol. 1, no. 3, pp. 128–134.Бреббия К. Теллес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов / Пер. с англ. М.: Мир, 1987.Brebbia, C.A., Telles, J.C.F. & Wrobel, L.C. 1984. “Boundary element techniques, theory and applications in engineering”, Springer, Berlin.Silva Rˆego J.J., Power H., Wrobel L.C. A boundary element method for 3D time-harmonic elastodynamics — Numerical aspects // Transactions on Modelling and Simulation. Vol. 2. WIT Press, 1993. P. 423–439.Silva Rˆego, J.J., Power, H. & Wrobel, L.C. 1993. “A boundary element method for 3D timeharmonic elastodynamics — Numerical aspects”, Transactions on Modelling and Simulation, vol. 2, WIT Press, pp. 423–439.Simpson R.N., Scott M.A., Taus M., Thomas D.C., Lian H. Acoustic isogeometric boundary element analysis // Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 2014. Vol. 269. P. 265–290.Simpson, R.N., Scott, M.A., Taus M., Thomas D.C. & Lian H. 2014. “Acoustic isogeometric boundary element analysis”, Comput. Methods Appl. Mech. Eng., vol. 269, pp. 265–290.Dineva P.S., Manolis G.D., Wuttke F. Fundamental solutions in 3D elastodynamics for the BEM: A review // Eng. Anal. Bound. Elem. 2019. Vol. 105. P. 47–69.Dineva, P.S., Manolis, G.D. & Wuttke, F. 2019. “Fundamental solutions in 3D elastodynamics for the BEM: A review”, Eng. Anal. Bound. Elem., vol. 105, pp. 47–69.Скобельцын С.А. Некоторые обратные задачи дифракции звуковых волн на неоднородных анизотропных упругих телах // Дисс. . . . докт. физ.-мат. наук. Тула, ТулГУ, 2020.Skobeltsyn, S.A. 2020. “Some inverse problems of diffraction of sound waves on inhomogeneous anisotropic elastic bodies”, Diss. . . . doc. physics and mathematics Sci., Tula State University, Tula. (In Russ.).Amini S. On the choice of the coupling parameter in boundary integral formulations of the exterior acoustic problem // Appl. Anal. 1990. Vol. 35. P. 75–92.Amini, S. 1990. “On the choice of the coupling parameter in boundary integral formulations of the exterior acoustic problem”, Appl. Anal., vol. 35, pp. 75–92.Lin T.C. A proof for the Burton and Miller integral equation approach for the Helmholtz equation // J. Math. Anal. Appl. 1984. Vol. 103, № 2. P. 565–574.Lin, T.C. 1984. “A proof for the Burton and Miller integral equation approach for the Helmholtz equation”, J. Math. Anal. Appl., vol. 103, no. 2, pp. 565–574.Liu Y.J., Rudolphi T.J. Some identities for fundamental-solutions and their applications to weakly-singular boundary element formulations // Eng. Anal. Bound. Elem. 1991. Vol. 8, № 6. P. 301–311.Liu, Y.J. & Rudolphi, T.J. 1991. “Some identities for fundamental-solutions and their applications to weakly-singular boundary element formulations”, Eng. Anal. Bound. Elem., vol. 8, no. 6, pp. 301–311.Jacobson A. Algorithms and interfaces for real-time deformation of 2D and 3D shapes. Diss. ETH, 2013.Jacobson A. Algorithms and interfaces for real-time deformation of 2D and 3D shapes. Diss. ETH, 2013.Meyer M., Desbrun M., Schr¨oder P., Barr A.H. Discrete differential-geometry operators for triangulated 2-manifolds // In: H.-C. Hege, K. Polthier (eds) Visualization and Mathematics III. Mathematics and Visualization. Berlin–Heidelberg: Springer, 2003.Meyer, M., Desbrun, M., Schr¨oder, P. & Barr, A.H. 2003. “Discrete differential-geometry operators for triangulated 2-manifolds”, In: H.-C. Hege, K. Polthier (eds) Visualization and Mathematics III. Mathematics and Visualization, Springer, Berlin–Heidelberg.Bridson R. Fast Poisson disk sampling in arbitrary dimensions // SIGGRAPH sketches. 2007. Vol. 10, № 1. P. 1.Bridson, R. 2007. “Fast Poisson disk sampling in arbitrary dimensions”, SIGGRAPH sketches, vol. 10, no. 1, pp. 1.Garland M., Heckbert P.S. Surface simplification using quadric error metrics // Proceedings of the 24th annual conference on Computer graphics and interactive techniques (SIGGRAPH ’97). 1997. P. 209–216.Garland, M. & Heckbert, P.S. 1997. “Surface simplification using quadric error metrics”, Proceedings of the 24th annual conference on Computer graphics and interactive techniques (SIGGRAPH ’97), pp. 209–216.Халилов Э.Г. Обоснование метода коллокации для интегрального уравнения смешанной краевой задачи для уравнения Гельмгольца // ЖВМ и МФ. 2016. Том. 56. № 7. С. 1340–1348.Khalilov, E.H. 2016. “Justification of the collocation method for the integral equation for a mixed boundary value problem for the Helmholtz equation”, Comput. Math. Math. Phys., vol. 56, no. 7, pp. 1310–1318.Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М.: Мир, 1987.Colton, D. & Kress, R. 2013. “Integral equation methods in scattering theory”, SIAM, Philadelphia.Chen G., Zhou J. Boundary element methods with applications to nonlinear problems / 2nd ed. Springer: Dordrecht, 2010.Chen, G. & Zhou, J. 2010. “Boundary element methods with applications to nonlinear problems”, 2nd ed., Springer, Dordrecht.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.