chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2025-26-3-300-306cheb-2021Research ArticleКраткие сообщенияАрифметические свойства значений расходящихся в поле C рядов. ГипотезыArithmetic properties of values of divergent in C series. ConjecturesЧирскийВладимир ГригорьевичChirskiiVladimir Grigorevich

доктор физико-математических наук

doctor of physical and mathematical sciences

vgchirskii@yandex.ruМосковский государственный университет им. М. В. Ломоносова; Российская академия народного хозяйства и государственной службы при Президенте Российской ФедерацииРоссияLomonosov Moscow State University; Russian Presidential Academy of National Economy and Public AdministrationRussian Federation202501112025263300306Copyright © Чирский В.Г., 20252025Чирский В.Г.Chirskii V.G.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/2021

Статья продолжает описание направлений исследования арифметических свойств значений рядов вида

с коэффициентами 𝑎𝑛, удовлетворяющими определённым условиям. При этих условиях рассматриваемый ряд, отличный от многочлена, сходится в поле C только при 𝑧 = 0.Однако для почти всех, кроме конечного числа, простых чисел 𝑝 такой ряд сходится в полях Q𝑝. Поэтому есть два естественных пути исследования. Мы можем рассматривать либо значения результата некоторого суммирования этого ряда, либо его значения в полеQ𝑝. В статье формулируются гипотезы, относящиеся к значениям рассматриваемых рядов как в одном, так и в другом случае.

The article describes the directions of research on the arithmetic properties of series values of the form

with coefficients 𝑎𝑛 satisfying certain conditions. Under these conditions, the considered series, other than the polynomial, converges in the field C only at 𝑧 = 0. However, for almost all but a finite number of primes, such a series converges in the fields Q𝑝. Therefore there are two ways of research. We can either consider the arithmetic properties of the result of some summation of this series, or consider the values of this series in the field Q𝑝. The paper formulates conjectures, related to the values of the considered series.

трансцендентностьсуммирование рядовполиадическое число.transcendencesummatuon of a seriespolyadic number.ReferencesЧирский В. Г. Арифметические свойства значений расходящихся в поле 𝐶 рядов // Чебышевский сборник.-2024.-т. 25.- вып. 3.-с. 259 – 269.Chirskii V. G.2024.“ Arithmetic properties ov values of divergent in 𝐶 series .”, Chebyshevskii sbornik, Vol. 25, no.3, pp.259-269.Шидловский А. Б. Трансцендентные числа.-М.: «Наука».-1987.-448 с.(Английский перевод:[3] Andrei B.Shidlovskii. Transcendental Numbers. W.de Gruyter.-Berlin.-New York.-1989.-467pp.).Shidlovskii, A. B.1989.“ Transcendental Numbers”, W.de Gruyter.-Berlin.-New York.467pp.Харди Г. Г. Расходящиеся ряды.-М.:«URSS».-2006.-506с.Hardy G.H.1949.“ Divergent Series”, Clarendon Press.-London.510pp.Рамис Ж.П. Расходящиеся ряды и асимптотические теории.-М.-Иж.: «Институт компьютерных технологий».-2002.-80 с.Ramis, J.P.1993.“ Series divergentes et theories asymptotiques”, Panoramas et Syntheses, no.21, Soc. Math. France. -Paris. 80pp.Ferguson T. Algebraic properties of Э-functions.//J.Number Theory. 2021.- v.229, pp.168-178.Ferguson. T.2021.“Arithmetic properties of Э-functions”,J.Number Theoty, Vol, 229, pp.168-178.Fischler S.;Rivoal T. Arithmetic theory of E-operators .//J.d l’Ecole polytechnique-Mathematiques.-2016.-т. 3.-с. 31 -65Fischler. S.;Rivoal. T.2016.“Arithmetic theory of E-operators”,J.d l’Ecole polytechnique-Mathematiques, Vol, 3, pp.31-65.Fischler S.;Rivoal T. Microsolutions of differential operators and values of arithmetic Gevrey series.//Michigan Math. J.-2018.-c.239-254Fischler.S.;Rivoal.T.2018.“Microsolutions of differential operators and values of arithmetic Gevrey series”,Michigan Math. J., Vol, 61, pp.239-254.Rivoal T.On the arithmetic nature of the values of the Gamma function,Euler’s constant and Gompertz’s constant.//American J.of Math.-2012.-n/140.-№2.-с.317-348.Rivoal.T.2012.“On the arithmetic nature of the values of the Gamma function,Euler’s constant and Gompertz’s constant”,American J.of Math, Vol, 140,no.2. pp.317-348.Fischler S.;Rivoal T. Relations between values of arithmetic Gevrey series, and applications to values of the Gamma function. arXiv:2301.13518v1[math.NT].Fischler. S.;Rivoal. T.2023. “Relations between values of arithmetic Gevrey series, and applications to values of the Gamma function”,( arXiv:2301.13518v1[math.NT])Andre Y.Arithmetic Gevrey series and transcendence. A survey.//J.Theor.Nombres Bordeaux.-2003.-т.15.-с.1-10.Andre.Y.2003.“Arithmetic Gevrey series and transcendence. A survey”,J. Theor. Nombres Bordeaux, Vol, 15, pp.1-10.Bertrand D.;Beukers F.Equations differentielles linearies et majorations de multiplicities.-1985.- Annales scientifiques ENS.-т.18.-№1.-с.181-192.Bertrand.D.;Beukers.F.1985.“Equations differentielles linearies et majorations de multiplicities ”,Annales scientifiques ENS, Vol, 18,no.1. pp.181-192.Chirskii V. G. Product Formula, Global Relations and Polyadic Integers // Russ. J. Math. Phys. 2019.- v.26, no.3, pp.286-305.Chirskii V. G. 2019. “Product Formula, Global Relations and Polyadic Integers”, Russ. J. Math. Phys., Vol.26, no.3, pp.286-305.Chirskii V. G. Arithmetic properties of generalized hypergeometric 𝐹– series // Russ. J. Math. Phys. 2020.- v.27, no.2, pp.175-184.Chirskii V. G.2020. “ Arithmetic properties of generalized hypergeometric F- series”, Russ. J. Math. Phys., Vol.27, no.2, pp.175-184.Ernvall-Hytonen A.-M.;Matala-aho T.;Seppala I. Euler’s factorial series, Hardy integral, and continued fractions // J.Number Theory. 2023.-v.244.-pp.224-250.Ernvall-Hytonen A.-M.;Matala-aho T.;Seppala I. 2023. “ Euler’s factorial series, Hardy integral, and continued fractions”, J. Number Theory, Vol. 244, pp.224-250.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.