References

cheb

Чебышевский сборник

Chebyshevskii Sbornik

2226-8383

Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University

10.22405/2226-8383-2015-16-2-155-185

cheb-202

Research Article

Статьи

Article

БАЗИСЫ РЕКУРРЕНТНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

BASES OF RECURRENT SEQUENCES

Малышев

Ф. М.

Malyshev

F. M.

Математический институт им. В. А. Стеклова РАН.Russian Federation

2015

06072016

162155185

2016

Малышев Ф.М.

Malyshev F.M.

Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.

This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.

https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/202

В работе приводится обзор результатов (с разной степенью подробности) по трём различным направлениям. Основное центральное направление относится к рекуррентным после довательностям, прежде всего к их базисным (в различном понимании) множествам. Другое направление связано с новыми комбинаторными объектами – (v, k1, k2)-конфигурациями, возникающими на пути ослабления условий, определяющих известные комбинаторные объекты – (v, k, λ)-конфигура ции. Третье направление имеет дело с инвариантными дифференциалами высших порядков от нескольких гладких функций одной вещественной переменной. В каждой из этих тем рассматриваемые вопросы связаны с комби наторными конфигурациями в виде конечных плоскостей, а приводимые результаты получены благодаря однотипным представлениям точек соот ветствующих конфигураций точками многомерных локально евклидовых пространств. В случае инвариантных дифференциалов эти представления возникают естественно, а в случае рекуррентных последовательностей и (v, k1, k2)-конфигураций вводятся по аналогии, но уже искусственным образом.

This paper provides an overview of the results (with varying degrees of detail) in three different directions. The main Central direction refers to recurrent sequences, primarily to their base (in a different sense) sets. Another direction is related to new combinatorial objects (v, k1, k2)-confi gurations encountered on the way of weakening the determinants of well-known combinatorial objects (v, k, λ)-configuration. The third direction deals with invariant differentials of higher orders from several smooth functions of one real variable. In each of these themes the issues associated with combinatorial configurations in the form of finite planes, and the results obtained through the same type of views, points of the corresponding configurations of points in multidimensional locally Euclidean spaces. In the case of invariant differentials of these representations arise naturally, and in the case of recurrent sequences and (v, k1, k2)-configurations are introduced by analogy, but in an artificial way.

рекуррентные последовательностирешёткиторыкомбинаторные конфигурацииинвариантные дифференциальные операторы

recurrent sequenceslatticesTorahcombinatorial configurationinvariant differential operators

References1

Кострикин А. И, Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия. М.: Наука, 1986. 304 c.

Kostrikin, A. I. & Manin, Yu. I. 1986, "Lineinaya algebra i geometriya" (Russian) [Linear algebra and geometry] Second edition. “Nauka”, Moscow, 304 pp.

Кон П. Универсальная алгебра. М.: Мир, 1968. 352 с.

Kon, P. 1968, "Universal’naya algebra" (Russian) [Universal algebra] Translated from the English by T. M. Baranovic. Edited by A. G. Kurosh “MIR”, Moscow 351 pp.

Veblen O. Differential invariants and geometry. //Atti del Congr., Int. Mat., Bologna. 1928.

Veblen, O. 1928, "Differential invariants and geometry" , Atti del Congr., Int. Mat., Bologna.

Кириллов А.А. Инвариантные операторы над геометрическими величинами. //Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Т. 16. М. 1980. С. 3 – 29.

Kirillov, A. A. 1980, "Invariant operators over geometric quantities" (Russian) Current problems in mathematics, Vol. 16 (Russian), Akad. Nauk SSSR, Vsesoyuz. Inst. Nauchn. i Tekhn. Informatsii, Moscow, pp. 3–29, 228.

Малышев Ф.М. Симплициальные системы линейных уравнений. //Алгебра: Сб. ст-й. Изд-во МГУ им. М.В. Ломоносова. 1980. C. 53–56.

Malyshev, F. M. 1980, "Simpletsialnye system of linear equations" , Algebra, Moscow, Moscow University Press, pp. 53–56.

Картеси Ф. Введение в конечные геометрии. М.: Наука, 1980. 320 с.

Kartesi, F. 1980, "Vvedenie v konechnye geometrii" (Russian) [Introduction to finite geometries] Translated from the English by F. L. Varpahovskii and A. S. Solodovnikov., “Nauka”, Moscow, 320 pp.

Малышев Ф.М. Порождающие наборы элементов рекуррентных последовательностей. //Труды по дискретной математике. 2008. Т. 11, № 2. С. 86 – 111.

Malyshev, F. M. 2008, "Generating sets of elements of recurrent sequences" , Tr. discr. Mat., Fizmatlit, Moscow, vol. 11, № 2, pp. 86 – 111.

Малышев Ф.М. Базисные множества целых чисел относительно многоместных операций сдвига. //Математические вопросы криптографии. 2011. Т. 2, № 1. С. 29 – 74.

Malyshev, F. M. 2011, "Bases of the set of integers with respect to multi-shift operations" , Mat. Issues. kriptogr., vol. 2, no. 1, pp. 29–73.

Малышев Ф.М. Метрические свойства вложений множества целых чисел в цилиндр. //Математические вопросы криптографии. 2012. Т. 3, № 3. С. 57 – 79.

Malyshev, F. M. 2012, "Metric properties of the nested set of integers into a cylinder" , Mat. Issues. kriptogr., vol. 3, no. 3, pp. 57–79.

Делоне Б.Н., Сандакова Н.Н. Теория стероэдров. //Труды Математического института им. В.А. Стеклова. 1961. Т. 64. С. 28 – 51.

Delone, B. N. & Sandakova, N. N. 1961, "Theory of stereohedra" (Russian) Trudy Mat. Inst. Steklov., vol. 64, pp. 28—51.

Wolfram S. Cellular Automaton Supercomputing. // In High-Speed Computing. University of Illinois Press. 1988. P. 40–48.

Wolfram, S. 1988, "Cellular Automaton Supercomputing" , In High-Speed Computing. University of Illinois Press., pp. 40–48.

Малышев Ф.М., Кутырёва Е.В. О распределении числа единиц в булевом треугольнике Паскаля. //Дискретная математика. 2006. Т.18, № 2. С. 123 – 131.

Malyshev, F. M. & Kutyreva, E. V. 2006, "On the distribution of the number of ones in a Boolean Pascal’s triangle" (Russian) Diskret. Mat., vol. 18, no. 2, pp. 123–131; translation in Discrete Math. Appl., vol. 16 (2006), no. 3, pp. 271—279.

Малышев Ф.М., Тараканов В.Е. О (v, k)-конфигурациях. //Математический сбор¬ ник. 2001. Т. 192, № 9. С. 85 – 108.

Malyshev, F. M. & Tarakanov, V. E. 2001, "On (v,k)-configurations" (Russian) Mat. Sb., vol. 192, no. 9, pp. 85–108; translation in Sb. Math., vol. 192 (2001), no. 9–10, pp. 1341—1364.

Холл М. Комбинаторика. //М.: Мир, 1970. 424 c.

Holl, M. 1970, "Kombinatorika" (Russian) [Combinatorial theory] Translated from the English by S. A. Shirokova. Edited by A. O. Gel’fond and V. E. Tarakanov, “MIR”, Moscow, 424 pp.

Харари Ф. Теория графов. //М.: Мир, 1973. 302 c.

Harary, F. 1973, "Teoriya grafov" (Russian) [Graph theory] Translated from the English by V. P. Kozyrev. Edited by G. P. Gavrilov., “MIR”, Moscow, 300 pp.

Камерон П., ван Линт Дж. Теория графов, теория кодирования и блок-схемы. //М.: Наука, 1980. 144 c.

Cameron, Peter J. & van Lint, Jacobus Hendricus 1980, "Teoriya grafov, teoriya kodirovaniya i blok-skhemy" (Russian) [Graph theory, coding theory and block designs] Translated from the English by B. S. Steckin. “Nauka”, Moscow, 140 pp.

Сачков В.Н. Комбинаторные методы дискретной математики. //М.: Наука, 1977. 320 c.

Sachkov, V. N. 1977, "Kombinatornye metody diskretnoi matematiki" (Russian) [Combinatorial methods of discrete mathematics], “Nauka”, Moscow, 320 pp.

Тараканов В.Е. Комбинаторные задачи и (0, 1)-матрицы. //М.: Наука, 1985. 192 c.

Tarakanov, V. E. 1985, "Kombinatornye zadachi i (0,1)-matritsy" (Russian) [Combinatorial problems and (0,1)-matrices], Problemy Nauki i Tekhnicheskogo Progressa. [Problems of Science and Technological Progress], “Nauka”, Moscow, 192 pp.

Малышев Ф.М., Фролов А.А. Классификация (v, 3)-конфигураций. //Математические заметки. 2012. Т. 91, № 5. С. 741 – 749.

Malyshev, F. M. & Frolov, A. A. 2012, "Classification of (v,3)-configurations" , Translation of Mat. Zametki, vol. 91, no. 5, pp. 741—749. Math. Notes, vol. 91 (2012), no. 5-6, pp. 689—696.

Тришин А.Е. Классификация циркулянтных (v, 5)-матриц. //Обозрение прикладной и промышленной математики. 2004. Т. 11, № 2. С. 258 – 259.

Trishin, A. E. 2004, "Classification circulant (v, 5)-matrices" , Review of Applied and Industrial Mathematics, vol. 11, № 2. pp. 258 – 259.

Фролов А.А. Классификация неразложимых абелевых (v, 5)-групп. //Дискретная математика. 2008. Т. 20, № 1. С. 94 – 108.

Frolov, A. A. 2008, "Classification of indecomposable abelian (v,5)-groups" (Russian) Diskret. Mat., vol. 20, no. 1, pp. 94–108; translation in Discrete Math. Appl., vol. 18, no. 1, pp. 99—114.

Брославский М.В. Примеры (v, k1, k2)-конфигураций. //Дипломная работа. М.: в/ч 33965, 2010.

Broslavsky, M. V. 2010, "Examples of (v, k1, k2)-configurations" Thesis. Moscow, v/ch 33965 (Russian).

Никулин В.В., Шафаревич И.Р. Геометрии и группы. //М.: Наука, 1973. 240 c.

Nikulin, V. V. & Shafarevich, I. R. 1983, "Geometrii i gruppy" (Russian) [Geometries and groups], “Nauka”, Moscow, 240 pp.

Рышков С.С., Барановский Е.П. Классические методы теории решётчатых упаковок. //Успехи математических наук. 1979. Т. 34, № 4(202). С. 3 – 63.

Ryshkov, S. S. & Baranovskii, E. P. 1979, "Classical methods of the theory of lattice packings" (Russian) Uspekhi Mat. Nauk, vol. 34, no. 4(208), pp. 3-–63, 256.

Kuzmin A.S., Kurakin V.L., Mikhalev A.V., Nechaev A.A. Linear recurreces over rings and modules. //J. Math. Science (Contemporary Math. and Its Appl. Thematic surveys). V. 76, № 6. P. 2793 – 2915.

Kurakin, V. L., Kuzmin, A. S., Mikhalev, A. V. & Nechaev, A. A. 1995, "Linear recurring sequences over rings and modules" , Algebra, 2. J. Math. Sci., vol. 76, №. 6, pp. 2793 – 2915.

Кузьмин А.С., Куракин В.Л., Нечаев А.А. Псевдослучайные и полилинейные по¬ следовательности. //Труды по дискретной математике. 1997. Т. 1, С. 139 – 202.

Kuzmin, A. S.; Kurakin, V. L.; Nechaev, A. A. 1997, "Pseudorandom and polylinear sequences" (Russian) Proceedings in discrete mathematics, Tr. Diskretn. Mat., Nauchn. Izd. TVP, Moscow, vol. 1, pp. 139—202.

National Institute of Standards and Technology, U.S.A., Advanced Encryption Standard (AES) FIPS – 197, 2001.

Specification of ARIA. National Security Research Institute (NSRI). January, 2005. http://www.nsri.re.kr/ARIA/index-e.html.

SEED Algorithm Specification. Korea Information Security Agency. 2005. https:// tools.ietf.org/draft-park-seed-01. 30. Lu J., Ji W., Hu L., Ding J., Pyshkin A., Weinmann R. Analysis of the SMS4 Block Cipher. Procedings of ACISP’07. LNCS 4586, 2007. P. 306 – 318.

SEED Algorithm Specification. Korea Information Security Agency. 2005. https:// tools.ietf.org/draft-park-seed-01.

Винберг Э.Б., Шварцман О.В. Дискретные группы движений пространств постоянной кривизны. //Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 29. М. 1988. С. 147 – 259.

Lu J., Ji W., Hu L., Ding J., Pyshkin A., Weinmann R. Analysis of the SMS4 Block Cipher. Procedings of ACISP’07. LNCS 4586, 2007. P. 306 – 318.

Малышев Ф.М. О замкнутых подмножествах корней и когомологиях регулярных подалгебр. //Математический сборник. 1977. Т. 104(146), № 1(9). С. 140 – 150.

Vinberg, E. B. & Shvartsman, O. V. 1988, "Discrete groups of motions of spaces of constant curvature" (Russian), Current problems in mathematics. Fundamental directions, Itogi Nauki i Tekhniki, Akad. Nauk SSSR, Vsesoyuz. Inst. Nauchn. i Tekhn. Inform., Moscow, vol. 29, pp. 147 – 259.

Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. М.: Мир, 1972. 336 с.

Malyshev, F. M. 1977, "Closed subsets of roots and the cohomology of regular subalgebras" (Russian), Mat. Sb. (N.S.), vol. 104(146), no. 1, pp. 140—150, 176.

Morgado I. Note on quasi-orders, partial orders and orders. //Notes comuus mat. 1972. № 43. P. 31 – 40.

Burbaki, N. 1972, "Gruppy i algebry Li. Gruppy Kokstera i sistemy Titsa. Gruppy, porozhdennye otrazheniyami. Sistemy kornei." (Russian) [Lie groups and algebras. Coxeter groups and Tits systems. Groups generated by reflections. Root systems] Translated from the French by A. I. Kostrikin and A. N. Tjurin. Edited by A. I. Kostrikin. “MIR”, Moscow, 334 pp.

Krishnamurthy. On the number of topologies on a finite set. //Amer. Math. Monthly. 1966. V. 73. P. 154 – 157.

Morgado, I. 1972, "Note on quasi-orders, partial orders and orders" , Notes comuus mat., № 43, pp. 31 – 40.

Толпыго А.К. О когомологиях параболических алгебр Ли. //Математические за¬ метки. 1972. Т. 12, № 3. С. 251 – 255.

Krishnamurthy, V. 1966, "On the number of topologies on a finite set" , Amer. Math. Monthly., vol. 73. pp. 154 – 157.

Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля: В 2-х томах. М.: Мир, 1988. 822 с.

Tolpygo, A. K. 1972, "The cohomology of parabolic Lie algebras" (Russian) Mat. Zametki, vol. 12, № 3, pp. 251–255.

Лупанов О.Б. Введение в математическую логику. Конспект лекций. //М.: Мех – мат МГУ им. М.В. Ломоносова. 2007. 199 с.

Lidl, R. & Niderraiter, G. 1988, "Konechnye polya. Tom 1" (Russian) [Finite fields. Vol. 1] Translated from the English by A. E. Zhukov and V. I. Petrov. Translation edited and with a preface by V. I. Nechaev. “MIR”, Moscow, 430 pp.; Lidl, R. & Niderraiter, G. 1988, "Konechnye polya. Tom 2" (Russian) [Finite fields. Vol. 2] Translated from the English by A. E. Zhukov and V. I. Petrov. Translation edited by V. I. Nechaev. “MIR”, Moscow, pp. 433—822.

Воробьёв Н.Н. Числа Фибоначчи. М.: Наука, 1978. 144 с.

Lupanov, O. B. 2007, "Introduction to mathematical logic. Lecture notes." , Moscow, Mekh – mat. MGU M. V. Lomonosov, 199 p.

Vorob’ev, N. N. 1978, "Chisla Fibonachchi" (Russian) [Fibonacci numbers] Fourth edition. Populyarnye Lektsii po Matematike [Popular Lectures on Mathematics], 6. “Nauka”, Moscow, 142 pp.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.