chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2025-26-3-257-273cheb-2017Research ArticleСтатьиArticleНерегулярность и топологические индексы в деревьях слов Фибоначчи и модифицированный индекс слов ФибоначчиIrregularity and topological indices in Fibonacci word trees and modified Fibonacci word indexХамудЖасемHamoudJasem

аспирант

postgraduate student

khamud@phystech.eduАбдуллаДуааAbdullahDuaa

аспирант

postgraduate student

abdulla.d@phystech.eduМосковский физико-технический институт (Национальный исследовательский университет)РоссияMoscow Institute of Physics and Technology (National Research University)Russian Federation202501112025263257273Copyright © Хамуд Ж., Абдулла Д., 20252025Хамуд Ж., Абдулла Д.Hamoud J., Abdullah D.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/2017

В данной статье представлена концепция индекса слов Фибоначчи FWI, нового топологического индекса, полученного на основе индекса Альбертсона, применительно к деревьям, построенным из слов Фибоначчи. Опираясь на классическую последовательностьФибоначчи и ее обобщения, мы исследуем структурные свойства деревьев из слов Фибоначчи и меры их нерегулярности, основанные на степенях. Мы определяем FWI и его варианты, включая полную нерегулярность и модифицированный индекс слов Фибоначчи, где он определяется как

и устанавливаем фундаментальные неравенства, связывающие эти индексы с максимальной степенью нижележащих деревьев. Наши результаты распространяют известные инварианты графов на комбинаторику слов Фибоначчи, позволяя по-новому взглянуть наих алгебраические и топологические характеристики. Кроме того, мы приводим аналитические выражения для чисел Фибоначчи и их порождающих функций, подкрепленные формулой Бине, чтобы облегчить вычисление этих индексов. Теоретические разработкииллюстрируются примерами, включая подробные конструкции словесных деревьев Фибоначчи и их степенных распределений. Данная работа открывает возможности для дальнейшего изучения инвариантов графов на основе слов и их применения в комбинаторике и теоретической информатике.

This paper introduces the concept of the Fibonacci Word Index FWI, a novel topological index derived from the Albertson index, applied to trees constructed from Fibonacci words.Building upon the classical Fibonacci sequence and its generalizations, we explore the structural properties of Fibonacci word trees and their degree-based irregularity measures. We define the FWI and its variants, including the total irregularity and modified Fibonacci Word Index where it defined as

and establish foundational inequalities relating these indices to the maximum degree of the underlying trees. Our results extend known graph invariants to the combinatorial setting of Fibonacci words, providing new insights into their algebraic and topological characteristics. Additionally, we present analytical expressions involving Fibonacci numbers and their generating functions, supported by Binet’s formula, to facilitate computation of these indices. The theoretical developments are illustrated with examples, including detailed constructions of Fibonacci word trees and their degree distributions. This work opens avenues for further investigation of word-based graph invariants and their applications in combinatorics and theoretical computer science.

Фибоначчисловадеревьятопологияиндексыиррегулярность.FibonacciWordTreesTopologicalIndicesIrregularity.ReferencesБерстель Ж. Фибоначчиевы слова - обзор // Книга L. - 1986. - С. 13-27.Berstel, J. 1986, “Fibonacci words—a survey”, in Rozenberg, G. and Salomaa, A. (eds.) The Book of L. Berlin: Springer, pp. 13–27.Риго М. Формальные языки, автоматы и системы нумерации 1: Введение в комбинаторику слов. - 2014. - DOI: 10.1002/9781119008200.Rigo, M. 2014, Formal Languages, Automata and Numeration Systems 1: Introduction to Combinatorics on Words. Hoboken, NJ: Wiley. Available at: https://doi.org/10.1002/9781119008200Чжи-Сюнь В., Чжи-Инь В. Некоторые свойства сингулярных слов фибоначчиева слова // Европейский журнал комбинаторики. - 1994. - Т. 15, № 6. - С. 587-598.Zhi-Xiong, W., Zhi-Ying, W. 1994, “Some properties of the singular words of the Fibonacci word”, European Journal of Combinatorics, 15(6), pp. 587–598.Гутман И., Фуртула Б. Деревья с минимальным индексом атом-связь // MATCH Commun. Math. Comput. Chem. - 2012. - Т. 68. - С. 131-136.Gutman, I., Furtula, B. 2012, “Trees with smallest atom–bond connectivity index”, MATCH Communications in Mathematical and in Computer Chemistry, 68, pp. 131–136.Моннеро-Дюмен А. Фрактал фибоначчиева слова. - 2009.Monnerot-Dumaine, A. 2009, The Fibonacci Word Fractal [Preprint]. Available at: https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00367972Глен А. О штурмианских и эпистурмианских словах и связанных темах // Bulletin of the Australian Mathematical Society. - 2006. - Т. 74, № 1. - С. 155-160.Glen, A. 2006, “On Sturmian and episturmian words, and related topics”, Bulletin of the Australian Mathematical Society, 74(1), pp. 155–160.Фуртула Б., Гутман И., Иванович М., Вукичевич Д. Компьютерный поиск деревьев с минимальным индексом ABC // Applied Mathematics and Computation. - 2012. - Т. 219, № 2. - С. 767-772.Furtula B., Gutman I., Ivanovich M., Vukichevich D. 2012, “Computer search for trees with minimal ABC index”, Applied Mathematics and Computation, 219(2), pp. 767–772.Висванат Д. Случайные последовательности Фибоначчи и число 1.13198824... // Mathematics of Computation. - 2000. - Т. 69, № 231. - С. 1131-1155.Viswanath, D. 2000, “Random Fibonacci sequences and the number 1.13198824...”, Mathematics of Computation, 69(231), pp. 1131–1155.Гутман И., Фуртула Б., Иванович М. Заметки о деревьях с минимальным индексом атом-связь // MATCH Commun. Math. Comput. Chem. - 2012. - Т. 67. - С. 467-482.Gutman, I., Furtula, B., Ivanovi´c, M. 2012, “Notes on trees with minimal atom-bond connectivity index”, MATCH Communications in Mathematical and in Computer Chemistry, 67, pp. 467–482.Гутман И., Хансен П., Мело Х. Поиск экстремальных графов с переменным окрестностным поиском 10. Сравнение индексов неравномерности для химических деревьев // Journal of Chemical Information and Modeling. - 2005. - Т. 45, № 2. - С. 222-230.Gutman I., Hansen P., Melo H. 2005, “Variable neighborhood search for extremal graphs. 10. Comparison of irregularity indices for chemical trees”, Journal of Chemical Information and Modeling, 45(2), pp. 222–230.Рамирес Х.Л., Рубиано Г.Н. О k-фибоначчиевых словах // Acta Universitatis Sapientiae, Informatica. - 2013. - Т. 5. - С. 212-226. - DOI: 10.2478/ausi-2014-0011.Ram´ırez, J.L., Rubiano, G.N. 2013, “On the k-Fibonacci words”, Acta Universitatis Sapientiae, Informatica, 5, pp. 212–226. https://doi.org/10.2478/ausi-2014-0011Кари Л., Кулкарни М.С., Махалингам К., Ван З. Инволютивные фибоначчиевы слова // J. Autom. Lang. Comb. - 2021. - Т. 26. - С. 255-280.Kari L., Kulkarni M.S., Mahalingam K., Wang Z. 2021, “Involutive Fibonacci words”, Journal of Automata, Languages and Combinatorics, 26, pp. 255–280.Гутман И., Тринаjстич Н., Уилкокс К.Ф. Теория графов и молекулярные орбитали. XII. Ациклические полиены // Journal of Chemical Physics. - 1975. - Т. 62, № 9. - С. 3399-3405.Gutman, I., Trinajsti´c, N., Wilcox, C.F. 1975, “Graph theory and molecular orbitals. XII. Acyclic polyenes”, Journal of Chemical Physics, 62(9), pp. 3399–3405.Хамуд Ж., Курносов А. Индекс сигма в деревьях с заданными последовательностями степеней // arXiv e-prints. - 2024. - arXiv:2405.05300. - DOI: 10.48550/arXiv.2405.05300.Hamoud, J., Kurnosov, A. 2024, “Sigma index in trees with given degree sequences”, arXiv [Preprint]. Available at: https://doi.org/10.48550/arXiv.2405.05300Калман Д., Мена Р. Числа Фибоначчи - раскрыты // Mathematics Magazine. - 2003. - Т. 76, № 3. - С. 167-181. - DOI: 10.1080/0025570X.2003.11953176.Kalman, D., Mena, R. 2003, “The Fibonacci numbers—exposed”, Mathematics Magazine, 76(3), pp. 167–181. https://doi.org/10.1080/0025570X.2003.11953176Гутман И., Тринаjстич Н. Теория графов и молекулярные орбитали. Полная 𝜑-электронная энергия альтернативных углеводородов // Chemical Physics Letters. - 1972. - Т. 17, № 4. - С. 535-538.Gutman, I., Trinajsti´c, N. 1972, “Graph theory and molecular orbitals. Total 𝜑-electron energy of alternant hydrocarbons”, Chemical Physics Letters, 17(4), pp. 535–538.Абдо Х., Брандт С., Димитров Д. Полная неравномерность графа // Discrete Mathematics & Theoretical Computer Science. - 2014. - Т. 16 (Graph Theory). - С. 201-206.Abdo, H., Brandt, S., Dimitrov, D. 2014, “The total irregularity of a graph”, Discrete Mathematics & Theoretical Computer Science, 16(Graph Theory), pp. 201–206.Кнут Д.Э. Искусство программирования. Т. 1: Основные алгоритмы. - 3-е изд. - Addison-Wesley, 1997.Knuth, D.E. 1997, The Art of Computer Programming, Volume 1: Fundamental Algorithms, 3rd edn. Boston: Addison-Wesley.Альбертсон М.О. Неравномерность графа // Ars Combinatoria. - 1997. - Т. 46. - С. 219-226.Albertson, M.O. 1997, “The irregularity of a graph”, Ars Combinatoria, 46, pp. 219–226.Васильева Е.А. О коэффициентах связи Джека и их вычислении // Чебышёвский сборник. - 2014. - Т. 15, № 1. - С. 65-76. - DOI: 10.22405/2226-8383-2014-15-1-65-76.Vassilieva, E.A. 2014, “On Jack’s connection coefficients and their computation”, Chebyshevskii Sbornik, 15(1), pp. 65–76 (in Russian). https://doi.org/10.22405/2226-8383-2014-15-1-65-76Рамперсад Н., Вибе М. Корреляции минимальных запрещённых факторов фибоначчиева слова // arXiv preprint. - 2023. - arXiv:2309.07070.Rampersad, N., Wiebe, M. 2023, “Correlations of minimal forbidden factors of the Fibonacci word”, arXiv [Preprint]. Available at: arXiv:2309.07070Аванесов Е.Т., Гусев В.А. Единицы и линейные рекуррентные последовательности // Чебышёвский сборник. - 2014. - Т. 15, № 3. - С. 4-11. - DOI: 10.22405/2226-8383-2014-15-3-4-11.Avanesov, E.T., Gusev, V.A. 2014, “Units and linear recurrent sequences”, Chebyshevskii Sbornik, 15(3), pp. 4–11 (in Russian). https://doi.org/10.22405/2226-8383-2014-15-3-4-11Хамуд Ж., Абдулла Д. Улучшение эргодической теории для бесконечного слова F = F𝑏 := (𝑏𝑓𝑛)𝑛⩾0 по плотности Фибоначчи // arXiv preprint. - 2025. - arXiv:2504.05901. -DOI: 10.48550/arXiv.2504.05901.Hamoud, J., Abdullah, D. 2025, “Improvement ergodic theory for the infinite word F = F𝑏 := (𝑏𝑓𝑛)𝑛⩾0 on Fibonacci density”, arXiv [Preprint]. Available at: https://doi.org/10.48550/arXiv.2504.05901Is the density of 1s in the Fibonacci word uniform? [Электронный ресурс]. - URL: https://mathoverflow.net/questions/323614/is-the-density-of-1s-in-the-fibonacci-worduniform.MathOverflow (n.d.) “Is the density of 1s in the Fibonacci word uniform?”. Available at: https://mathoverflow.net/questions/323614/is-the-density-of-1s-in-the-fibonacci-worduniform.Пулидо Х.Ф., Рамирес Х.Л., Виндас-Мелендес А.Р. Генерирующие деревья и фибоначчиевы полиомино // arXiv e-prints. - 2024. - arXiv:2411.Pulido H.F., Ramirez H.L., Vindas-Melendez A.R. 2024, “Generating trees and Fibonacci polyominoes”, arXiv [Preprint]. Available at: arXiv:2411Юсаф С., Бхатти А.А., Али А. Заметка об изменённом индексе Альбертсона // arXiv e-prints. - 2019. - arXiv:1902.01809. - DOI: 10.48550/arXiv.1902.01809.Yousaf S., Bhatti A.A., Ali A. 2019, “A note on the modified Albertson index”, arXiv [Preprint]. Available at: https://doi.org/10.48550/arXiv.1902.01809Хоссейни С.А., Ахмади М.Б., Гутман И. Деревья Крагуеваца с минимальным индексом атом-связь // MATCH Commun. Math. Comput. Chem. - 2014. - Т. 71, № 20. - С. 5-20.Hosseini S.A., Ahmadi M.B., Gutman I. 2014, “Kragujevac trees with minimal atom-bond connectivity index”, MATCH Communications in Mathematical and in Computer Chemistry, 71(20), pp. 5–20.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.