chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2025-26-3-247-256cheb-2016Research ArticleСтатьиArticleЭндоморфизмы специального вида конечно порожденных абелевых группSpecial endomorphisms of finitely generated Abelian groupsСарвариАсадуллахSarwaryAsadullah

аспирант

postgraduate student

sarwary.asad20@gmail.comМосковский педагогический государственный университетРоссияMoscow Pedagogical State UniversityRussian Federation202501112025263247256Copyright © Сарвари А., 20252025Сарвари А.Sarwary A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/2016

Работа посвящена абелевым группам, содержащим хотя бы один эндоморфизм, ядро которого совпадает с его образом. Заметим, что условие ker𝜙 = Im 𝜙 влечет за собой равенство 𝜙^2 = 0, то есть 𝜙 является нильпотентным эндоморфизмом индекса нильпотентности 2.Основным техническим результатом работы является теорема 1, в которой на языке подгрупп получен критерий существования эндоморфизма абелевой группы, ядро которого совпадает с его образом.В этой статье существование эндоморфизма, ядро которого совпадает с его образом, полностью решено для абелевых групп из классов циклических и коциклических групп, элементарных 𝑝-примарных абелевых групп и конечно порожденных абелевых групп.Главным результатом работы является теорема 12, в которой доказано, что конечно порожденная абелева группа 𝐴 обладает эндоморфизмом, образ которого совпадает с его ядром тогда и только тогда, когда либо 𝐴 — конечная группа, порядок которой является полным квадратом, либо 𝐴 = 𝐹 ⊕ 𝐾, где 𝐹 — свободная абелева группа четного ранга, а 𝐾 — произвольная конечная абелева группа.

The paper is devoted to abelian groups containing at least one endomorphism whose kernel coincides with its image. Note that the condition ker𝜙 = Im 𝜙 implies the equality 𝜙^2 = 0, that is, 𝜙 is a nilpotent endomorphism of nilpotency index 2.The main technical result of the paper is Theorem 1, in which a criterion for the existence of an endomorphism of an abelian group whose kernel coincides with its image is obtained in the language of subgroups.In this paper, the existence of an endomorphism whose kernel coincides with its image is completely solved for Abelian groups from the classes of cyclic and cocyclic groups, elementary 𝑝-primary Abelian groups, and finitely generated Abelian groups.The main result of the paper is Theorem 12, which proves that a finitely generated Abelian group 𝐴 has an endomorphism whose image coincides with its kernel if and only if either 𝐴 is a finite group whose order is a perfect square, or 𝐴 = 𝐹 ⊕ 𝐾, where 𝐹 is a free Abelian groupof even rank and 𝐾 is an arbitrary finite Abelian group.

ruabelian groupendomorphismnilpotencyelementary groupfinitely generated group.ReferencesФукс Л. Бесконечные абелевы группы. — М.: Мир. Т. 1, 1974. — 335 с.Fuchs, L. 1970, Infinite Abelian Groups, Academic Press, vol. I, New York and London.Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. — М.: Мир. Т. 2, 1977. — 416 с.Fuchs, L. 1973, Infinite Abelian Groups, Academic Press, vol. II, New York and London.Fuchs L. Abelian Groups. — Elsevier, International series in pure and applied Mathematics. Vol. 1–2, 2014.Fuchs, L. 2014, Abelian Groups, International Series in Pure and Applied Mathematics, Vol. 1–2, Elsevier, Amsterdam. Holland.Крылов П.А., Михалев А.В., Туганбаев А.А. Абелевы группы и их кольца эндоморфизмов. — М.: Факториал Пресс, 2006. — 512 с.Krylov, P.A., Mikhalev, A.V. and Tuganbaev, A.A. 2003, Endomorphism Rings of Abelian Groups, Springer Dordrecht, Berlin.Arnold D.M. Finit Rank Torsion Free Abelian Groups and Rings. — LNM, Vol. 931, 1982. — 198 p.Arnold, D.M. 1982, Finite rank torsion free abelian groups and rings, Lecture Notes in Mathematics, vol. 931, Springer-Verlag, Berlin.Сарвари А. Эндоморфизмы специального вида конечно порожденных абелевых групп // Алгебра, теория чисел, дискретная геометрия и многомасштабное моделирование: Современные проблемы, приложения и проблемы истории: Материалы XXIII Международной конференции, посвященной 80-летию профессора Александра Ивановича Галочкина и 75-летию профессора Владимира Григорьевича Чирского. – Тула: Тул. гос. пед. ун-т им. Л. Н. Толстого, 2024. С. 67.Sarwary, A. 2024, Endomorphisms of special type of finitely generated abelian groups // Algebra, Number theory, Discrete geometry and Multiscale modeling: Contemporary problems, applications and historical aspects: Proceedings of the XXIII International Conference dedicated to the 80th anniversary of Professor Alexander Ivanovich Galochkin and the 75th anniversary of Professor Vladimir Grigorievich Chirsky. Tula: Tula State L. Tolstoy Pedagogical University, p. 67.Сарвари А. Примарные абелевы группы с нильпотентными эндоморфизмами индекса нильпотентности 2 // НАН Беларуси: Материалы XIV Беларуской Международной Математической Конференции, посвященной 65-летию Института математики. – Минск: Нац. акад. нау. Беларуси. 2024. С. 56–57.Sarwary, A. 2024, Primary abelian groups with nilpotent endomorphisms of nilpotency index 2 // National Academy of Sciences of Belarus: Proceedings of the XIV Belarusian International Mathematical Conference dedicated to the 65th anniversary of the Institute of Mathematics. Minsk: National Academy of Sciences of Belarus, pp. 56-57.Крылов П.А., Туганбаев А.А., Царев А.В. sp-Группы и их кольца эндоморфизмов // Итоги науки и техн. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз. 2019. Т. 159. ВИНИТИ РАН, С. 68–110.Krylov, P.A., Tuganbaev, A.A. and Tsarev, A.V. 2021, “sp-Groups and their Endomorphism Rings”, J. Math. Sci., New York, vol. 256, no. 3, pp. 299–340.Чехлов А.Р. Абелевы группы с мономорфизмами, инвариантными относительно эпиморфизмов // Изв. вузов. Матем. 2018. №12. С. 86–93Chekhlov, A.R. 2018, “Abelian Groups With Monomorphisms Invariant With Respect to Epimorphisms”, Russian Mathematics [Izvestiya VUZ. Matematika], vol. 62, no. 12, pp. 74–80.Чехлов А.Р. Об абелевых группах с перестановочными коммутаторами эндоморфизмов // Фундамент. и прикл. матем. 2015. Т. 20, №5. С. 227–233.Chekhlov, A.R. 2018, “On Abelian Groups with Commutative Commutators of Endomorphisms”, J. Math. Sci., New York, vol. 230, no. 3, pp. 502–506.Крылов П.А. Радикалы колец эндоморфизмов абелевых групп // Вестн. Томск. гос. ун-та. 2007. №1. С. 17–27.Krylov, P.A. 2007, “Radicals of endomorphism rings of abelian groups”, Vestnik Tomskogo Gosudarstvennogo Universiteta, no. 1, pp. 17–27.Крылов П.А. Наследственные кольца эндоморфизмов смешанных абелевых групп // Сиб. матем. журн. 2002. Т. 43, №1. С. 108–119.Krylov, P.A. 2002, “Hereditary endomorphism rings of mixed abelian groups”, Siberian Math. J., vol. 43, no. 1, pp. 83–91.Крылов П.А., Туганбаев А.А., Царев А.В. E-группы и E-кольца // Итоги науки и техн. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз. 2019. Т. 159. ВИНИТИ РАН, С. 111–132.Krylov, P.A., Tuganbaev, A.A. and Tsarev, A.V. 2019, “E-groups and E-rings”, J. Math. Sci., New York, vol. 256, no. 3, pp. 341–361.Гриншпон С.Я., Себельдин А.М. Определяемость периодических абелевых групп своими группами эндоморфизмов // Матем. заметки. 1995. Т. 57, №5. С. 457–462.Grinshpon, S.Y. and Sebeldin, A.M. 1995, “Definability of periodic abelian groups by their endomorphism groups”, Math. Notes, vol. 57, no. 5, pp. 457–462.Степанова А.Ю., Тимошенко Е.А. Матричное представление эндоморфизмов примарных групп малых рангов // Вестн. Томск. гос. ун-та. Матем. и мех. 2021. №74. С. 30–42.Stepanova, A.Yu. and Timoshenko, E.A. 2021, “Matrix representation of endomorphisms of primary groups of small ranks”, Vestnik Tomskogo Gosudarstvennogo Universiteta, no. 74, pp. 30–42.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.