chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2025-26-3-235-246cheb-2015Research ArticleСтатьиArticleСумма коротких тригонометрических сумм с простыми числамиSum of short exponential sums with prime numbersРахмоновФируз ЗаруллоевичRakhmonovFiruz Zarulloevich

кандидат физико-математических наук

candidate of physical and mathematical sciences

rakhmonov.firuz@gmail.comИнститут математики им. А. Джураева НАН ТаджикистанаРоссияA. Juraev Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of TajikistanRussian Federation202501112025263235246Copyright © Рахмонов Ф.З., 20252025Рахмонов Ф.З.Rakhmonov F.Z.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/2015

Для достаточно больших целых чисел 𝐾, 𝑥, 𝑦, 𝑞 при условии 𝐾 ⩽ 𝑦 < 𝑥, 𝑛 — фиксированное натуральное число, 𝛼 — вещественное,⃒𝛼 − 𝑎/𝑞|⩽ 1/𝑞2 , (𝑎, 𝑞) = 1, 𝑞 ⩾ 1, получена оценка вида

что является усилением и обобщением теоремы И. М. Виноградова о распределении дробных частей {𝛼𝑝}.

For sufficiently large integers 𝐾, 𝑥, 𝑦, 𝑞, subject to 𝐾 ⩽ 𝑦 < 𝑥, 𝑛 — fixed natural number, 𝛼 — real, |𝛼 − 𝑎/𝑞|⩽ 1/𝑞^2 , (𝑎, 𝑞) = 1, 𝑞 ⩾ 1, an estimate of the form

which is a strengthening and generalization of I. M. Vinogradov’s theorem on the distribution of fractional parts of {𝛼𝑝}.

короткая тригонометрическая сумма Г. Вейля с простыми числамиравномерное распределение по модулю единицынетривиальная оценкадробная часть.Short exponential sum of G. Weyl with prime numbersuniform distribution modulo unitynon-trivial estimatefractional part.ReferencesВиноградов И. М. Избранные труды — М: Изд-во АН СССР, 1952 г.Vinogradov, I. M., 1952, Izbrannye trudy. (Russian) [Selected works.], Izdat. Akad. Nauk SSSR, Moscow.Виноградов И. М., Карацуба А. А. Метод тригонометрических сумм в теории чисел // Труды МИАН СССР. 1984. Т. 77. С. 4 – 30.Vinogradov, I. M., & Karatsuba, A. A., 1986, “The method of trigonometric sums in number theory”, Proc. Steklov Inst. Math., vol. 168, pp. 3-30.Рахмонов З. Х. Теорема о среднем значении 𝜓(𝑥, 𝜒) и ее приложения // Известия РАН. Сер. матем. 1993. Т. 57, № 4. С. 55 – 71.Rakhmonov, Z. Kh., 1994, “Theorem on the mean value of 𝜓(𝑥, 𝜒) and its applications”, Russian Academy of Sciences. Izvestiya Mathematics, vol. 43, Is. 1, pp. 49 – 64.Рахмонов Ф З. Оценка квадратичных тригонометрических с простыми числами // Вестник Московского университета. Серия 1: Математика. Механика. 2011. № 3. С. 56 – 60.Rahmonov, F. Z., 2011, “Estimate of quadratic trigonometric sums with prime numbers”, Vestnik Moskov. Univ. Ser. 1. Mat. Mekh., no. 3, pp. 56 – 60.Рахмонов З. Х., Рахмонов Ф. З. Сумма коротких тригонометрических сумм с простыми числами // Доклады Академии наук. 2014. Т. 459, № 2. С. 156 – 157.Rakhmonov, Z. Kh.,& Rakhmonov, F. Z., 2014, “Sum of short exponential sums over prime numbers”, Doklady Mathematics, vol. 90, No 3, pp. 699–700.Рахмонов З.Х., Рахмонов Ф.З., Исматов С.Н. // Оценка сумм коротких тригонометрических сумм с простыми числами //Доклады Академии наук Республики Таджикистан. 2013. Т. 56. № 12. С. 937 – 945.Rakhmonov, Z. Kh., & Rakhmonov, F. Z., Ismatov S. N., 2013, “Estimate of sums of short exponential sums over prime numbers”, Doklady Akademii nauk Respubliki Tadzhikistan, vol. 56, no 12, pp. 937-945, (in Russian).Рахмонов З. Х., Рахмонов Ф З. Асимптотическая формула в проблеме Варинга с почти пропорциональными слагаемыми // Чебышевский сборник. 2024. Т. 25. № 2(93). С. 139-168.Rakhmonov, Z. Kh.,& Rakhmonov, F. Z., 2024, “Asymptotic formula in the Waring’s problem with almost proportional summands”, Chebyshevskii Sbornik, vol. 25, Is. 2, pp. 138–168, (in Russian).Рахмонов Ф З. Асимптотическая формула в обобщении тернарной проблемы Эстермана с почти пропорциональными слагаемыми // Чебышевский сборник. 2024. Т. 25. № 4(95). С. 120–137.Rakhmonov, F. Z., 2024, “Asymptotic formula in generalization of ternary Esterman problem with almost proportional summands”, Chebyshevskii Sbornik, vol. 25, Is. 4, pp. 120–137, (in Russian).Рахмонов Ф З. Оценка коротких тригонометрических сумм Г. Вейля в малых дугах // Доклады Национальной академии наук Таджикистана. 2024. Т. 67. № 5-6. С. 238-242.Rakhmonov, F. Z., 2024, “Estimate of short G.Weyl exponential sums on minor arcs”, Doklady Natsional’noy akademii nauk Tadzhikistana, vol. 67, Is 5-6, pp. 238-242.Рахмонов З.Х., Рахмонов Ф.З. Проблема Варинга с почти пропорциональными слагаемыми // Доклады Национальной академии наук Таджикистана. 2023. Т. 66. № 9-10. С. 481-488.Rakhmonov, Z. Kh.,& Rakhmonov, F. Z., 2023, “Waring’s problem with almost proportional summands”, Doklady Natsional’noy akademii nauk Tadzhikistana, vol 66, Is 9-10, pp. 481-488.Рахмонов З.Х., Рахмонов Ф.З. Асимптотическая формула в проблеме Варинга с почти пропорциональными слагаемыми // Доклады Национальной академии наук Таджикистана. 2024. Т. 67. № 3-4. С. 125-136.Rakhmonov, Z. Kh.,& Rakhmonov, F. Z., 2024, “Asymptotic formula in the Waring’s problem with almost proportional summands”, Doklady Natsional’noy akademii nauk Tadzhikistana, vol 67, Is 3-4, pp. 125-136.Вон Р. Метод Харди–Литтлвуда — Москва: Мир, 1985.Vaughan R. C., 1981. The Hardy-Littlewood method, Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 80, Cambridge University Press, Cambridge, 172 p.Рахмонов Ф.З. Оценка тригонометрических сумм с простыми числами // Чебышевский сборник. 2011. Т. 12. В. 1. С. 158–171.Rakhmonov, F. Z., 2011, “Estimation of trigonometric sums with prime numbers”, Chebyshevskii Sbornik, vol. 12, Is. 1, pp. 158–171, (in Russian).Рахмонов Ф.З. Оценка квадратичных тригонометрических сумм с простыми числами // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика и механика. 2011. № 3. С. 56–60.Rakhmonov, F. Z., 2011, “Estimate of quadratic trigonometric sums with prime numbers”, Vestnik Moskovskogo Universiteta. Seriya 1. Matematika. Mekhanika, Is. 3, pp. 56–60.Рахмонов З. Х., Рахмонов Ф. З. Короткие кубические суммы простыми числами // Труды Математического института им. В. А. Стеклова Российской академии наук. 2016. Т. 296. С. 220-242.Rakhmonov, Z. Kh.,& Rakhmonov, F. Z., 2017, “Short Cubic Exponential Sums over Primes”, Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, vol. 296, pp. 211–233.Рахмонов З. Х., Рахмонов Ф З. Тригонометрические суммы с функцией Мёбиуса // Чебышевский сборник. 2019. Т. 20. № 4. С. 281-305.Rakhmonov, Z. Kh.,& Rakhmonov, F. Z., 2019, “Short cubic exponential sums with M¨obius function”, Chebyshevskii Sbornik, vol. 20, Is. 4, pp. 281–305, (in Russian).Архипов Г. И., Чубариков В. Н. Три теоремы о тригонометрических суммах из анализа // Доклады Российской Академии наук. 1994. Т. 335. № 4. С. 407–408.Arkhipov G. I., Chubarikov V. N., 1994, “Three theorems in the analysis of trigonometric sums”, Doklady Mathematics, vol. 49, No 2, pp. 326–327.Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В. Н. Лекции по математическому анализу // Москва: Дрофа. 2004. 635с.Arkhipov G. I.,& Sadovnichii V. A., Chubarikov V. N., 1999, Lectures on mathematical analysis.: Textbook for universities and pedagogical universities, / Ed. V. A. Sadovnichii – Moscow: Higher School — 695 p.Марджанишвили К.К. Оценка одной арифметической суммы // ДАН СССР. 1939. Т. 22. № 7. С. 391-393.Mardjhanashvili, K. K., 1939, “An estimate for an arithmetic sum”, Doklady Akad. Nauk SSSR, vol. 22, no 7, pp. 391–393.Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел — М.: Наука, 1983, 2-ое изд. 21. Heath-Brown D. R. The number of primes in a short interval // Journal f¨ur die reine und angewandte Mathematik. 1988. V. 389. P. 22-63.Karatsuba A. A., 1993, Basic analytic number theory, Springer-Verlag, Berlin, xiv+222 pp.Heath-Brown D. R., 1988, “The number of primes in a short interval”, Journal f¨ur die reine und angewandte Mathematik, vol. 389, pp 22-63.Heath-Brown D. R., 1988, “The number of primes in a short interval”, Journal f¨ur die reine und angewandte Mathematik, vol. 389, pp 22-63.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.