chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2025-26-3-220-234cheb-2014Research ArticleСтатьиArticleКороткие квадратичные тригонометрические суммы с простыми числами в больших дугахShort quadratic exponential sums with primes in major arcsРахмоновЗарулло ХусеновичRakhmonovZarullo Khusenovich

доктор физико-математических наук, академик НАН Таджикистана

doctor of physical and mathematical sciences, Academician of the National Academy of Sciences of Tajikistan

zarullo.rakhmomov@gmail.comХотамоваРахбарой ЛатифовнаKhotamovaRakhbaroy Latifovna

научный сотрудник

research associate

hotamovarahbaroi@mail.ruШарифзодаМашрафи СулаймонSharifzodaMashrafi Sulaimon

научный сотрудник

research associate

mashrab.sharifzoda.92@mail.ruТаджикский национальный университетТаджикистанTajik National UniversityTajikistanИнститут математики им. А. Джураева НАН ТаджикистанаТаджикистанA. Dzhuraev Institute of Mathematics, National Academy of Sciences of TajikistanTajikistan202501112025263220234Copyright © Рахмонов З.Х., Хотамова Р.Л., Шарифзода М.С., 20252025Рахмонов З.Х., Хотамова Р.Л., Шарифзода М.С.Rakhmonov Z.K., Khotamova R.L., Sharifzoda M.S.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/2014

Воспользовавшись вторым моментом 𝐿-функций Дирихле на критической прямой в больших дугах M(L𝑏), 𝜏 = 𝑦3𝑥−1L−𝑏1 , за исключением малой окрестности центров этих дуг |𝛼 − 𝑎𝑞 | > (8𝜋𝑦2)−1 при 𝑦 ⩾ 𝑥^1− 1/(9−4√2)L𝑐2 , 𝑐2 =2𝐴+24+(√2−1)𝑏1/2√2−1, получена оценка:

а в малой окрестности |𝛼 − 𝑎𝑞 | ⩽ (8𝜋𝑦2)−1 центра больших дуг M(L𝑏) для 𝑆2(𝛼; 𝑥, 𝑦) при 𝑦 ⩾ 𝑥^5/8 L1,5𝐴+0,25𝑏+18 получена асимптотическая формула с остаточным членом, где 𝐴, 𝑏1,𝑏 — произвольные фиксированные положительные числа, L = ln 𝑥𝑞.

Using the second moment of Dirichlet 𝐿-functions on the critical line over the major arcs M(L𝑏), with 𝜏 = 𝑦3𝑥−1L−𝑏1 , and excluding a small neighborhood of the centers of these arcs, i.e., those 𝛼 satisfying |𝛼 − 𝑎𝑞 | > (8𝜋𝑦2)−1, for 𝑦 ⩾ 𝑥^1− 1/(9−4√2)L𝑐2 , where 𝑐2 = 2𝐴+24+(√2−1)𝑏1/2√2−1, we obtain the estimate

Moreover, in a small neighborhood of the center of the major arcs, defined by |𝛼−𝑎𝑞 | ⩽ (8𝜋𝑦2)−1,for 𝑦 ⩾ 𝑥^5/8 L1,5𝐴+0,25𝑏+18, an asymptotic formula with a remainder term is obtained for 𝑆2(𝛼; 𝑥, 𝑦), where 𝐴, 𝑏1, and 𝑏 are arbitrary fixed positive constants, and L = ln 𝑥.

короткая тригонометрическая сумма с простыми числамибольшие дугиплотностная теорема𝐿-функция ДирихлеShort exponential sum with primesmajor arcsdensity theoremDirichlet 𝐿- functionReferencesLiu J., Zhan T. On sums of five almost equal prime squares // Acta Arithmetica. 1996. V. 77. P. 369–383.Liu, J., & Zhan, T., 1996, “On sums of five almost equal prime squares”, Acta Arithmetica, vol. 77. pp. 369–383.Liu J., Zhan T. Estimation of exponential sums over primes in short intervals // Monatshefte f¨ur Mathematik. 1999. № 127. P. 27-41.Liu, J., & Zhan, T., 1999, “Estimation of exponential sums over primes in short intervals I”, Monatshefte fur Mathematik, vol. 127, Is. 1, pp. 27-41.Jutila M. Mean value etstimates for exponential sums with applications to 𝐿-functions // Acta Arithmetica. 1991. V. 57. Is. 2. P. 93-114.Jutila, M., 1991, “Mean value etstimates for exponential sums with applications to 𝐿-functions”, Acta Arithmetica, vol. 57, Is. 2. pp. 93-114.Zhan T. On the Mean Square of Dirichlet 𝐿-Functions // Acta Mathematica Sinica. New Series. 1992. Vol. 8, No 2. pp. 204-224.Zhan T., 1992, “On the Mean Square of Dirichlet 𝐿-Functions”, Acta Mathematica Sinica. New Series, vol. 8, No 2, pp. 204-224.Рахмонов З.Х. Оценка коротких тригонометрических сумм с простыми числами в длинных дугах // Чебышевский сборник. 2021. Т. 22. № 4(81). С. 199-223.Rakhmonov, Z. Kh., 2021, “Estimates of short exponential sums with primes in major arcs”, Chebyshevskii Sbornik, vol. 22, Is. 4, pp. 199-223, (in Russian).Рахмонов З. Х., Рахмонов Ф. З. Короткие кубические суммы простыми числами // Труды МИАН. 2016. Т. 296. С. 220 – 242.Rakhmonov, Z. Kh.,& Rakhmonov, F. Z., 2017, “Short Cubic Exponential Sums over Primes”, Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, vol. 296, pp. 211–233.Рахмонов З. Х., Рахмонов Ф. З. Оценка коротких кубических тригонометрических сумм в малых дугах // Доклады Академии наук Республики Таджикистан. 2016. Т. 59. № 7-8. С. 273 – 277.Rakhmonov, Z. Kh., & Rakhmonov, F. Z., 2016, “Estimation of short cubic exponential sums with prime numbers in minor arcs”, Doklady Akademii nauk Respubliki Tajikistan, vol. 59, no 7-8, pp. 273-277, (in Russian).Рахмонов З. Х., Собиров А. А., Фозилова П. М. Поведение коротких кубических тригонометрических сумм с простыми числами в малой окрестности центра больших дуг // Доклады Академии наук Республики Таджикистан. 2020. Т. 63. № 5-6. С. 279-288.Rakhmonov, Z. Kh., & Sobirov A. A., Fozilova P. M., 2020, “Behavior of short cubic exponential sums with primes in a small neighborhood of the center of major arcs”, Doklady Akademii nauk Respubliki Tajikistan, vol. 63, no 5-6, pp. 279-288, (in Russian).Рахмонов З. Х., Собиров А. А., Фозилова П. М. Оценка коротких кубических тригонометрических сумм с простыми числами в большие дуги // Доклады Академии наук Республики Таджикистан. 2020. Т. 63. № 7-8. С. 405-415.Rakhmonov, Z. Kh., & Sobirov A. A., Fozilova P. M., 2020, “Estimate of short cubic exponential sums with primes in major arcs”, Doklady Akademii nauk Respubliki Tajikistan, vol. 63, no 7-8, pp.405-415, (in Russian).Хотамова Р. Л., Шарифзода М. С. Короткие квадратичные тригонометрические суммы с простыми числами в малой окрестности центра больших дуг // Доклады Национальной академии наук Таджикистана. 2021. Т. 64. № 1-2. С. 5-10.Hotamova R. L., & Sharifzoda M. S., 2021, “Behavior of short cubic exponential sums with primes in a small neighborhood of the center of major arcs”, Doklady Natsional’noi akademii nauk Tadzhikistana, vol. 64, no 1-2, pp. 5-10, (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.