доктор физико-математических наук
doctor of physical and mathematical sciences
кандидат физико-математических наук
candidate of physical and mathematical sciences
доктор физико-математических наук, профессор
doctor of physical and mathematical sciences, professor
В работе даётся определение равномерного распределения в единичном 𝑠-мерном кубе последовательности вложенных обобщенных параллелепипедальных сеток II типа с весовой функцией. Кроме того, даётся определение равномерного распределения в единичном 𝑠-мерном кубе 𝐺𝑠 последовательности сеток 𝑀𝑛 с весовой функцией.Даётся доказательство аналога обобщённого критерия Г. Вейля об необходимых и достаточных условиях равномерного распределения в единичном 𝑠-мерном кубе 𝐺𝑠 последовательности сеток 𝑀𝑛 с весами.Так как определение равномерного распределения последовательности вложенных обобщенных параллелепипедальных сеток II типа с весовой функцией отличается от определения равномерного распределения последовательности сеток 𝑀𝑛 с весовой функцией, то в работе доказывается второй аналог критерия Вейля о необходимых и достаточных условиях равномерного распределения в единичном 𝑠-мерном кубе 𝐺𝑠 последовательности вложенных обобщенных параллелепипедальных сеток II типа.Доказана следующая теорема:
Теорема 1. Пусть ряд Фурье функции 𝑓(⃗𝑥) сходится абсолютно, 𝐶(⃗𝑚) — ее коэффициенты Фурье и 𝑆𝑀,⃗𝜌(⃗𝑚) — тригонометрические суммы сетки с весами, тогда справедливо равенство
и при 𝑁 → ∞ погрешность 𝑅𝑁[𝑓] будет стремиться к нулю тогда и только тогда, когда взвешенные узлы квадратурной формулы равномерно распределены в единичном 𝑠–мерномкубе.
The paper defines a uniform distribution in a unit 𝑠-dimensional cube of a sequence of nested generalized parallelepiped grids of type II with a weight function. In addition, a definition of a uniform distribution in a unit 𝑠-dimensional cube 𝐺𝑠 of a sequence of 𝑀𝑛 grids with a weightfunction is given.A proof is given of an analogue of the generalized G. Weyl criterion on necessary and sufficient conditions for a uniform distribution in a unit 𝑠-dimensional cube 𝐺𝑠 of a sequence of 𝑀𝑛 grids with weights.Since the definition of the uniform distribution of a sequence of nested generalized parallelepiped grids of type II with a weight function differs from the definition of the uniform distribution of a sequence of grids 𝑀𝑛 with a weight function, the paper proves the second analogue of the Weyl criterion on the necessary and sufficient conditions for the uniform distribution in a unit 𝑠-dimensional cube 𝐺𝑠 of a sequence of nested generalized parallelepiped grids of type II.The following theorem is proved:
Theorem 2. Let the Fourier series of 𝑓(⃗𝑥) converge absolutely, 𝐶(⃗𝑚) be its Fourier coefficients and 𝑆𝑀,⃗𝜌(⃗𝑚) be the trigonometric sums of the weighted grid, then the following equality holds
and as 𝑁 → ∞ the error 𝑅𝑁[𝑓] will tend to zero if and only if the weighted nodes of the quadrature formula are uniformly distributed in the unit 𝑠–dimensional cube.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.