chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2025-26-3-174-184cheb-2012Research ArticleСтатьиArticleРазложение решений начально-краевых задач для уравнения теплопроводности в ряды полиномов ЭрмитаExpansion of the initial-boundary value problem solution for the heat equation into Hermite polynomial seriesНижниковАлександр ИвановичNizhnikovAlexander Ivanovichnizhnikov.ai@mail.ruЯремкоОлег ЭммануиловичYaremkoOleg Emmanuilovichyaremki8@gmail.comЯремкоНаталья НиколаевнаYaremkoNatalya Nikolaevnayaremki@yandex.ruМосковский педагогический государственный университетРоссияMoscow State Pedagogical UniversityRussian FederationМосковский государственный технический университет «Станкин»РоссияMoscow State Technical University “Stankin”Russian FederationНациональный исследовательский технологический университет «МИСиС»РоссияNational Research Technological University “MISiS”Russian Federation202501112025263174184Copyright © Нижников А.И., Яремко О.Э., Яремко Н.Н., 20252025Нижников А.И., Яремко О.Э., Яремко Н.Н.Nizhnikov A.I., Yaremko O.E., Yaremko N.N.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/2012

Решение начально-краевых задач для уравнения теплопроводности представляется в виде разложения в ряд полиномов Эрмита. Для задачи Коши и ретроспективной задачиКоши найдены коэффициенты разложения решения в ряды по полиномам Эрмита. Исследована связь преобразования Лапласа и рядов по полиномам Эрмита. Найдена новая формула обращения интегрального преобразования Лапласа по значениям изображения на действительной полуоси. Функция оригинал строится как сумма квазистепенного ряда. Получена формула для изображения Лапласа в виде суммы квазистепенного ряда. Решеназадача восстановления температурного поля неограниченного стержня по его моментам.

The initial boundary value problems solution for the heat equation is represented as a decomposition into a series of Hermite polynomials. For the Cauchy problem and the Cauchy retrospective problem, the coefficients of the solution expansion into series by Hermite polynomials are found. The relationship between the Laplace transform and the Hermite polynomial series is investigated. A new formula for inverting the integral Laplace transform with respect to the values of the image on the real half- axis is found. The original function is constructed as the sum of a quasi-series. A formula is obtained for the Laplace representation as the sum of a quasi-minor series.The problem of reconstructing the temperature field of an unlimited rod based on its moments has been solved.

полином Эрмитапреобразование Фурьепреобразование Лапласазадача Коширетроспективная задачасмешанная краевая задача.Hermite polynomialFourier transformLaplace transformCauchy problemretrospective probleminitial-boundary value problem.Исследование выполнено при поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации (проект № FSFS-2024-0007)ReferencesВладимиров В.С., Михайлов В.П., Вашарин А.А. и др. Сборник задач по уравнениям математической физики.— М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства ≪Наука≫, 1974.-288 с.Vladimirov, V. S., Mikhailov, V. P., Vasharin A. A., et al., Collection of Problems on Mathematical Physics Equations [in Russian], Nauka, Moscow, 1974.Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. — М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства ≪Наука≫, 1974. — 544 с.Ditkin,V. A. and Prudnikov,A. P. Integral Transforms and Operational Calculus. Pergamon press inc, 1965.Казьмин Ю. А.О разложениях в ряды по полиномам Аппеля. Матем. заметки, №5, вып.5, 1969, 509–520.Yu. A. Kaz’min, On Appell polynomials, Math. Notes, Val.6, No. 2, 1969, 556–562Крейн М. Г., Нудельман А. А. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. М.: Наука, 1973. 552 сKrein,M.G. and Nudelman,A.A. The Markov moment problem and extremal problems. Translation of Mathematical Monographs AMS, vol. 50 1977.Крылов В. И., Скобля Н. С. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа. М., 1974. 224 с.Krylov, N.S. Skoblya - A Handbook of Methods of Approximate Fourier Transformation and Inversion of the Laplace Transformation - Mir - 1977.Нижников А.И., Яремко О.Э., Яремко Н.Н. Полиномы Аппеля, ассоциированные с преобразованиями Фурье, и их применение для дифференциальных уравнений. Чебышевский сборник. 2024;25(3):213-225.Nizhnikov A.I., Yaremko O.E., Yaremko N.N. Appel polynomials associated with Fourier transforms and their applications to differential equations. Chebyshevskii Sbornik. 2024, 25(3), pp. 213-225. (In Russ.)Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука. 1979.Tikhonov A.N., Arsenin V.Ya. Methods for solutions of ill-posed problems. N Y: Wiley, 1977, 258 p.Тихонов А.Н. , Васильева А.Б., Свешников А.Г. Курс высшей математики и математической физики. Дифференциальные уравнения. — Физматлит, 2005.Tikhonov, A. N. Vasil’eva, A. B., Sveshnikov A. G. Differential Equations. Berlin-Heidelberg-New York-Tokyo, Springer-Verlag 1985.Феллер В. Введение в теорию вероятностей и её приложения, т.2, М.: Мир. 1984.Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications. Vol. 2, J. Willey and Sons, New York, 1971, 766 p.Яремко Н. Н., Селютин В. Д., Журавлева Е. Г. Новые формулы обращения для интегральных преобразований Лапласа, Вейерштрасса и Меллина. Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки, 2018, № 1, 24–35.Yaremko N. N., Selyutin V. D., Zhuravleva E. G. New conversion formulas for integral transformations of Laplace, Weierstrass and Mellin. News of higher educational institutions.Andrews, G. E., Askey, R., Roy, R. Hermite Polynomials. Cambridge, Cambridge University Press, 1999.The Volga region. Physical and Mathematical Sciences. [in Russian], 2018, No. 1, 24-35.Jeffreys H. and Jeffreys B. Methods of Mathematical Physics,3rd ed., Cambridge Univ. Press, 1956.Andrews, G. E., Askey, R., Roy, R. Hermite Polynomials. Cambridge, Cambridge University Press, 1999.Sitnik S. M., Yaremko O., Yaremko N. Transmutation Operators and Applications. Transmutation Operators Boundary Value Problems,Springer Nature Switzerland, 2020, pp.447-466.Jeffreys H. and Jeffreys B. Methods of Mathematical Physics,3rd ed., Cambridge Univ. Press, 1956.Sneddon I.N. Fourier Transforms. New York. McGraw-Hill. 1951.542 p.Sitnik S. M., Yaremko O., Yaremko N. Transmutation Operators and Applications. Transmutation Operators Boundary Value Problems,Springer Nature Switzerland, 2020, pp.447-466.Thambynayagam, R. K. M. The Diffusion Handbook: Applied Solutions for Engineers. / McGraw-Hill Professional. 2011.Sneddon I.N. Fourier Transforms. New York. McGraw-Hill. 1951.542 p.Yaremko, N. , Yaremko, O. On a new formulas for a direct and inverse Cauchy problems of heat equation. DOI:10.48550/arXiv.1311.4442.Thambynayagam, R. K. M. The Diffusion Handbook: Applied Solutions for Engineers. McGraw-Hill Professional. 2011.Yaremko, N. , Yaremko, O. On a new formulas for a direct and inverse Cauchy problems of heat equation. DOI:10.48550/arXiv.1311.4442.Yaremko, N. , Yaremko, O. On a new formulas for a direct and inverse Cauchy problems of heat equation. DOI:10.48550/arXiv.1311.4442.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.