chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2025-26-3-81-95cheb-2007Research ArticleСтатьиArticleО рядах Виноградова по простым числамOn Vinogradov’s series over primesГиясиАзар ХодабахшGhyasiAzar Khodabakhsh

кандидат физико-математических наук

candidate of physical and mathematical sciences

azarghyasi@yahoo.comЧубариковВладимир НиколаевичChubarikovVladimir Nikolaevich

доктор физико-математических наук, профессор

doctor of physical and mathematical sciences, professor

chubarik2020@mail.ruУниверситет им. Алламе Табатаба’иИранAllameh Tabataba’i UniversityIslamic Republic of IranМосковский государственный университет им. М. В. ЛомоносоваРоссияLomonosov Moscow State UniversityRussian Federation2025011120252638195Copyright © Гияси А.Х., Чубариков В.Н., 20252025Гияси А.Х., Чубариков В.Н.Ghyasi A.K., Chubarikov V.N.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/2007

В статье доказаны теоремы о сходимости тригонометрических рядов по простым числам. Мы продолжаем исследования Г. И. Архипова и К. И. Осколкова по специальным тригонометрическим рядам, основанные на методе И. М. Виноградова по оценкам тригонометрических сумм Г.Вейля с многочленом в аргументе тригонометрической функции.В настоящей работе мы рассматриваем специальные тригонометрические ряды по простым числам трех типов в зависимости от функций в аргументе тригонометрической функции: корень квадратный, линейной и общего многочлена от одной переменной, пробегающей последовательно все простые числа. Здесь мы существенно пользуемся оценками И. М. Виноградова тригонометрических сумм по простым числам.Отметим то обстоятельство, что возникает необходимость использовать справедливость расширенной гипотезы Римана.Кроме того, в случае линейных многочленов в аргументе нам потребовалось некоторое улучшение оценок И. М. Виноградова, полученное Р. Воном.

In the paper theorems on the convergence trigonometrical series over primes are proven.We continue the G. I. Arkhipov’s and K. I. Oskolkov’s investigations on spechial trigonometric series, based on the I. M. Vinogradov’s method on estimations of H. Weyl’s trigonometric sums with polynomial in the argument of the trigonometric function.In this paper we consider special trigonometric series over prime numbers of of three types in the dependence of functions of an argument trigonometric function: the square root, the linearand the the general polynomial from the one variable, running sequently all prime numbers.Here we essentially are used the I. M. Vinogradov’s estimates of trigonometric sums over prime numbers.

We note the one circumstance, that appeares the need touse the holding of Grand Riemann’s hypotheses.Besides, in the case of linear polynomials of arguments for us required a little improvement of I. M. Vinogradov’s estimations, getting by R. C. Vaughan.

ряды Виноградова по простым числамтригонометрические суммы с простыми числами.the Vinogradov’s series on primestrigonometric sums over primes.ReferencesHardy G. H., Littlewood J. E. The fractional part of 𝑛𝑘𝜃 // Acta math.- 1914.- 37.Hardy G.H., Littlewood J.E. 1914, “The fractional part of 𝑛𝑘𝜃”, Acta Mathematica 37 pp. 155–191.Виноградов И. М. Особые варианты метода тригонометрических сумм // М.: «Наука».- 1976.- 124 с.Vinogradov I.M. 1976, Special variants of the method of trigonometric sums. Moscow: Nauka. 124 p.Виноградов И. М. Метод тригонометических сумм в теории чисел. 2-е изд., исправленное и дополненное // М.: «Наука».- 1980.- 144 с.Vinogradov I.M. 1980, The method of trigonometric sums in number theory. 2nd ed. Moscow: Nauka. 144 p.Архипов Г. И., Осколков К. И. Об одном специальном тригонометрическом ряде и его применениях // Матем. сб.- 1987.- 134 (176).- pp. 147–157.Arkhipov G.I., Oskolkov K.I. 1987, “On a special trigonometric series and its applications”, Matematicheskii Sbornik 134(176) pp. 147–157.Vaughan R. C. Sommes trigom´etriques sur les nombres premiers // C.R. Acad. Sc. Paris, S´er. A.- 1977.- 285.- pp. 981–983.Vaughan R.C. 1977, “Sommes trigonom´etriques sur les nombres premiers”, Comptes Rendus de l’Acad´emie des Sciences. S´erie A 285 pp. 981–983.Pan Chengdong, Pan Chengbiao. Goldbach Conjecture // Science Press.- Beijing.- China.- 1992.- Ch.5.- theorem 5.12.- pp. 73–75.Pan Chengdong, Pan Chengbiao. 1992, Goldbach Conjecture. Beijing: Science Press. Chapter 5, theorem 5.12, pp. 73–75.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.