доктор физико-математических наук, профессор
doctor of physical and mathematical sciences, professor
кандидат физико-математических наук
candidate of physical and mathematical sciences
Изучаются полумодули над одноэлементным полукольцом {𝑒}, которое мы называем тривиальным полукольцом. Под полумодулем над тривиальным полукольцом понимаетсякоммутативная полугруппа ⟨𝐴,+⟩ вместе с отображением 𝑒 : 𝐴 → 𝐴, 𝑎 → 𝑒𝑎, которое: аддитивно, то есть 𝑒(𝑎+𝑏) = 𝑒𝑎+𝑒𝑏 для любых 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴; идемпотентно, то есть 𝑒(𝑒𝑎) = 𝑒𝑎 для всех 𝑎 ∈ 𝐴; 𝑒𝑎+𝑒𝑎 = 𝑒𝑎 для любого 𝑎 ∈ 𝐴. При этом отображение 𝑒 : 𝐴 → 𝐴, или действие𝑒 на 𝐴, называется ретракцией коммутативной полугруппы ⟨𝐴,+⟩. Для ретракции 𝑒 на 𝐴 множество 𝑒𝐴 будет множеством всех неподвижных точек отображения 𝑒, называемым 𝑒-множеством. Коммутативная полугруппа ⟨𝐴,+⟩ может иметь самые разные ретракции и, соответственно, различные 𝑒-множества. Кроме того, одно и то же множество на полурешетке 𝐴 может служить 𝑒-множеством самых разных ретракций 𝑒 на 𝐴.На ряде примеров показано, что целесообразно исследовать ретракции на полурешетках ⟨𝐴,+⟩, которые будем называть 𝑒-полумодулями.Дана некоторая классификация ретракций. Описано строение ретракций цепей. Доказано, что все непустые подмножества произвольной цепи являются 𝑒-множествами тогда и только тогда, когда эта цепь дискретная. Рассмотрены возрастающие, убывающие и линейные ретракции на полурешетках и решетках. Показано, что возрастающие ретракции e и убывающие ретракции 𝑒 однозначно определяются своими 𝑒-множествами.Получены также другие результаты, приведены соответствующие примеры.
The article studies semimodules over a single-element semiring {𝑒}, which we call a trivial semiring. By a semimodule over a trivial semiring we mean a commutative semigroup ⟨𝐴,+⟩ considered together with the mapping 𝑒 : 𝐴 → 𝐴, 𝑎 → 𝑒𝑎 which is additive, i. e. 𝑒(𝑎+𝑏) = 𝑒𝑎+𝑒𝑏for any 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴; and idempotent, i. e. 𝑒(𝑒𝑎) = 𝑒𝑎 for all 𝑎 ∈ 𝐴; 𝑒𝑎 + 𝑒𝑎 = 𝑒𝑎 for any 𝑎 ∈ 𝐴.In this case, the mapping 𝑒 : 𝐴 → 𝐴, or the action of 𝑒 onto 𝐴, is called a retraction of the commutative semigroup ⟨𝐴,+⟩. For the retraction of 𝑒 onto 𝐴, the set 𝑒𝐴 will be the set of all fixed points of the mapping 𝑒, called the 𝑒-set. A commutative semigroup ⟨𝐴,+⟩ can have verydifferent retractions and, accordingly, different 𝑒-sets. Moreover, the same set on a semilattice 𝐴 can serve as an 𝑒-set of different retractions of 𝑒 onto 𝐴.The article shows, using a number of examples, that it is advisable to study retractions on semilattices ⟨𝐴,+⟩, which we call e-semimodules.The paper provides some classification of retractions, describes the structure of chain retractions. It is proved that all non-empty subsets of an arbitrary chain are 𝑒-sets if and only if this chain is discrete. We considered increasing, decreasing and linear retractions onsemilattices and lattices. It is shown that increasing retractions 𝑒 and decreasing retractions 𝑒 are uniquely determined by their 𝑒-sets.We also obtained other results, and gave corresponding examples in the paper.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.