Данная статья посвящена установлению порядка гладкости 𝑓𝑁𝑅(𝑥1, 𝑥2, ..., 𝑥𝑛) — наибольшего выпуклого продолжения на [0, 1]𝑛 любой булевой функции 𝑓𝐵(𝑥1, 𝑥2, ..., 𝑥𝑛). В результате исследования для каждой булевой функции 𝑓𝐵(𝑥1, 𝑥2, ..., 𝑥𝑛) установлен порядокдифференцируемости 𝑓𝑁𝑅(𝑥1, 𝑥2, ..., 𝑥𝑛) — соответствующего ей наибольшего выпуклого продолжения на [0, 1]𝑛, а именно, во-первых, с обеих сторон оценено наибольшее выпуклое продолжение 𝑓𝑁𝑅(𝑥1, 𝑥2, ..., 𝑥𝑛) так, что из чего следует непрерывность 𝑓𝑁𝑅(𝑥1, 𝑥2, ..., 𝑥𝑛) на [0, 1]𝑛 для любого натурального 𝑛, а во-вторых, доказано, что если число существенных переменных булевой функции 𝑓𝐵(𝑥1, 𝑥2, ..., 𝑥𝑛) меньше двух, то на [0, 1]𝑛 наибольшее выпуклое продолжение 𝑓𝑁𝑅(𝑥1, 𝑥2, ..., 𝑥𝑛) бесконечно дифференцируемо, а если не мень-ше двух, то на [0, 1]𝑛 наибольшее выпуклое продолжение 𝑓𝑁𝑅(𝑥1, 𝑥2, ..., 𝑥𝑛) не является дифференцируемым, т. е. является лишь непрерывным.
This paper is devoted to establishing the order of smoothness of 𝑓𝑁𝑅(𝑥1, 𝑥2, ..., 𝑥𝑛) — the largest convex continuation to [0, 1]𝑛 of any Boolean function 𝑓𝐵(𝑥1, 𝑥2, ..., 𝑥𝑛). As a result of the study, for each Boolean function 𝑓𝐵(𝑥1, 𝑥2, ..., 𝑥𝑛), the order of differentiability of 𝑓𝑁𝑅(𝑥1, 𝑥2, ..., 𝑥𝑛) — the corresponding greatest convex continuation to [0, 1]𝑛 — was established, namely, firstly, the greatest convex continuation 𝑓𝑁𝑅(𝑥1, 𝑥2, ..., 𝑥𝑛) was estimated from both sides so that, which implies the continuity of 𝑓𝑁𝑅(𝑥1, 𝑥2, ..., 𝑥𝑛) on [0, 1]𝑛 for anynatural 𝑛, and secondly, it was proved that if the number of essential variables of the Boolean function 𝑓𝐵(𝑥1, 𝑥2, ..., 𝑥𝑛) is less than two, then on [0, 1]𝑛 the greatest convex continuation 𝑓𝑁𝑅(𝑥1, 𝑥2, ..., 𝑥𝑛) is infinite differentiable, and if there are at least two, then on [0, 1]𝑛 the largest convex continuation 𝑓𝑁𝑅(𝑥1, 𝑥2, ..., 𝑥𝑛) is not differentiable, i.e. it is only continuous.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.