доктор физико-математических наук
doctor of physical and mathematical sciences
При достаточно легко обозримых ограничениях на нелинейности, без предположения, что они удовлетворяют условию Липшица, методом монотонных (по Браудеру – Минти) операторов доказаны глобальные теоремы о существовании, единственности и оценках решения для трех различных классов неоднородных нелинейных интегральных уравнений, в которые операторы дробного (по Риману – Лиувиллю) интегрирования с переменным внешним коэффициентом входят линейно или нелинейно, либо эти операторы содержат нелинейность под знаком интеграла (уравнения типа Гаммерштейна). В последнем случае существование и единственность решения установлены без условия коэрцитивности на нелинейность. Во всех случаях важную роль играют найденные в работе условия при которых операторы дробного интегрирования с переменным внешним коэффициентом действуют непрерывно из вещественных пространства Лебега 𝐿𝑝(𝑎, 𝑏) в сопряженные с ними пространства и являются строго положительными. Доказанные теоремы в рамках пространства 𝐿2(𝑎, 𝑏) охватывают соответствующие линейные уравнения с интегралами дробного порядка. Из полученных оценок, в частности, непосредственно вытекает, что при условиях доказанных теорем соответствующие однородные линейные и нелинейные интегральные уравнения имеют лишь тривиальное (нулевое) решение.Приведены следствия, иллюстрирующие основные результаты.
Under reasonably easy-to-observe restrictions on the nonlinearities, without assuming that they satisfy the Lipschitz condition, global theorems on the existence, uniqueness, and estimates of the solution for three different classes of inhomogeneous nonlinear integral equations are proved by the method of monotone (in the sense of Browder – Minty) operators. In these equations, the operators of fractional (in the sense of Riemann – Liouville) integration witha variable external coefficient enter linearly or nonlinearly, or these operators contain a nonlinearity under the sign of the integral (Hammerstein-type equation). In the latter case, the existence and uniqueness of the solution are established without the coercivity condition on the nonlinearity. In all cases, the conditions found in the work under which the fractional integration operators with a variable external coefficient act continuously from the real Lebesguespace 𝐿𝑝(𝑎, 𝑏) to the spaces conjugate to them and are strictly positive play an important role. The proved theorems within the framework of the space 𝐿2(𝑎, 𝑏) cover the corresponding linear equations with integrals of fractional order. From the obtained estimates, in particular,it directly follows that under the conditions of the proved theorems, the corresponding homogeneous linear and nonlinear integral equations have only a trivial (zero) solution.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.