chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2015-16-4-303-318cheb-200Research ArticleСтатьиArticleПОКАЗАТЕЛЬ СХОДИМОСТИ СРЕДНЕГО ЗНАЧЕНИЯ ПОЛНЫХ РАЦИОНАЛЬНЫХ АРИФМЕТИЧЕСКИХ СУММTHE RATE OF CONVERGENCE OF THE AVERAGE VALUE OF THE FULL RATIONAL ARITHMETIC SUMSЧубариковВ. Н.ChubarikovV. N.Механико-математический факультет Московского государственного универси- тета им. М. В. Ломоносова.Russian Federation201505072016164303318Copyright © Чубариков В.Н., 20162016Чубариков В.Н.Chubarikov V.N.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/200

В данной работе найдено точное значения показателя сходимости среднего значения полных рациональных арифметических сумм для арифметической функции, удовлетворяющей функциональному уравнению гауссова типа. В частности, многочлены Бернулли удовлетворяют этому уравнению. Подобный результат справедлив для полных рациональных тригонометрических сумм (Хуа Ло-кен, 1952). Вывод основного результата работы проводится элементарным методом. Мы обязаны И. М. Виноградову за демонстрацию плодотворных результатов и выгоды этого метода. Полные рациональные арифметические суммы являются аналогами осцилляторных интегралов от периодических функций, например, тригонометрических функций. В 1978 г. были получены подобные результаты для точного значения показателя сходимости тригонометрического интеграла (Г. И. Архипов, А. А. Карацуба, В. Н. Чубариков). Для многомерной проблемы в настоящее время удается получить только верхние и нижние оценки показателя сходимости соответствующих сумм и интегралов.

 

In this paper the exact value of a index of convergence for the mean-value of the complete rational arithmetical for the arithmetical function, satisfying the functional equation of Gaussian type, is found. In particular, the Bernoulli’s polynomials satisfy for this functional equation. A similar result holds for the complete rational trigonometric sums (Hua Loo-keng, 1952). The deduction of the main result of the paper leads of the elementary method. We owe to I. M. Vinogradov for the demonstration of fruitful results and profit of it. The complete rational arithmetic sums are the analogue the oscillatory integral of a periodic function, for example, trigonometric functions. In 1978 similar results for the exact value of the index of convergence of the trigonometric integral were obtained (G. I. Arkhipov, A. A. Karatsuba, V. N. Chubarikov). In nowadays for a multivariate problem there are successful to get only upper and lower estimates for the index of convergence of appropriate sums and integrals.

 

 

1

1. Виноградов И. М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел, 2-е изд., М.: Наука, 1980, 144 с.

2

2. Hua L.-K. An improvement of Vinogradov’s mean-value theorem and several applications// Quart. J. Math. 1949. V.20. P. 48–61.

3

3. Архипов Г. И. Теорема о среднем значении модуля кратной тригонометрической суммы// Мат. заметки. 1975. Т.17. С. 84–90.

4

4. Архипов Г. И. Избранные труды. Орел: Изд-во Орловского гос. ун-та, 2013. 464 с.

5

5. Архипов Г. И., Чубариков В. Н. Кратные тригонометрические суммы//Изв. АН СССР, Сер. мат. 1976, Т.17, №1. С.209–220.

6

6. Архипов Г. И., Карацуба А. А., Чубариков В. Н. Теория кратных тригонометрических сумм. М.: Наука, 1987. 368 с.

7

7. Arkhipov G.I., Chubarikov V. N., Karatsuba A. A. Trigonometric Sums in Number Theory and Analysis. De Gruyter expositions in mathematics; 39. Berlin, New York, 2004. 554 c.

8

8. Franel J. Les suites de Farey et le probleme des nombres premiers// G¨ottinger Nachrichten. 1924, S. 198–201.

9

9. Landau E. Vorlesungen uber ¨ Zahlentheorie. Leipzig, 1927 V.2. 240 c.

10

10. Романов Н. П. Теория чисел и функциональный анализ: сборник трудов. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2013. 478 с.

11

11. Greaves G. R. H., Hall R. R., Huxley M. N., Wilson J. C. Multiple Franel Integrals// Mathematika, 1993. V.40. P.51–70.

12

12. Чубариков В. Н. Об одном кратном тригонометрическом интеграле// До- кл. АН СССР. 1976. Т.227, № 6. С. 1308–1310.

13

13. Чубариков В. Н. О кратных рациональных тригонометрических суммах и кратных интегралах// Мат. заметки. 1978. Т.20, № 1. С. 61–68.

14

14. Чубариков В. Н. О показателе сходимости особого интеграла одной многомерной аддитивной проблемы// Докл. АН СССР. 2015. Т.463, № 5. С. 530.

15

15. Чубариков В. Н. Арифметические суммы и гауссова теорема умножения// Чебышевский сборник. 2015. Т.16, вып. 2(54). С. 231–253.

16

16. Чубариков В. Н. Элементарный вывод оценки полной рациональной арифметической суммы от многочлена// Чебышевский сборник. 2015. Т. 16, вып. 3(55). С. 452–461.

17

17. Чубариков В. Н. Полные рациональные арифметические суммы// Вестник Моск. ун-та. Сер. мат., мех. 2016. Вып. 1. С. 60–61.

18

18. Чубариков В. Н. Арифметические суммы от значений многочленов// Докл. РАН. 2016. Вып. 466, № 2. С. 1–2.

19

19. Шихсадилов М. Ш. Об одном классе осцилирующих интегралов, Вестник Моск. ун-та. Сер. мат., мех. 2015. Вып. 5. С. 61–63. 

теорема Гаусса умножения для гамма-функции Эйлераполные рациональные арифметические суммыфункциональное уравнение по полной системе вычетов по модулю натурального числамногочлены Бернуллиthe Gauss theorem of a multiplication for the Euler gammafunctioncomplete rational arithmetical sumsa functional equation on a complete system of residues by modulo of natural numberthe Bernulli polynomialsРабота выполнена по гранту РФФИ № НК 13-01-00835ReferencesВиноградов И. М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел, 2-е изд., М.: Наука, 1980, 144 с.Vinogradov, I. M. Metod trigonometricheskikh summ v teorii chisel.(Russian) [The method of trigonometric sums in the theory of numbers] Second edition. “Nauka”, Moscow, 1980. 144 pp.Hua L.-K. An improvement of Vinogradov’s mean-value theorem and several applications// Quart. J. Math. 1949. V.20. P. 48–61.Hua L.-K. 1949, “An improvement of Vinogradov’s mean-value theorem and several applications”, Quart. J. Math. vol. 20, рр. 48–61.Архипов Г. И. Теорема о среднем значении модуля кратной тригонометрической суммы// Мат. заметки. 1975. Т.17. С. 84–90.Arhipov, G. I. 1975, “A theorem on the mean value of the modulus of a multiple trigonometric sum”, Mat. Zametki vol. 17, рр. 143–153.Архипов Г. И. Избранные труды. Орел: Изд-во Орловского гос. ун-та, 2013. 464 с.Arkhipov, G. I. 2013, “Izbrannye trudy”, [Selected works], Orl. Gos. Univ., Orel, 464 p. (Russian).Архипов Г. И., Чубариков В. Н. Кратные тригонометрические суммы//Изв. АН СССР, Сер. мат. 1976, Т.17, №1. С.209–220.Arkhipov, G. I. & Cubarikov, V. N. 1976, “Multiple trigonometric sums”, ˇ Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. vol. 40, no. 1, рр. 209–220.Архипов Г. И., Карацуба А. А., Чубариков В. Н. Теория кратных тригонометрических сумм. М.: Наука, 1987. 368 с.Arkhipov, G. I., Karatsuba A. A. & Cubarikov, V. N., 1987, “Theory of multiple ˇ trigonometric sums”, Moscow: Nauka, 368 pp.Arkhipov G.I., Chubarikov V. N., Karatsuba A. A. Trigonometric Sums in Number Theory and Analysis. De Gruyter expositions in mathematics; 39. Berlin, New York, 2004. 554 c.Arkhipov G. I., Cubarikov V. N. & Karatsuba A. A. 2004, “Trigonometric Sums ˇ in Number Theory and Analysis 39”, De Gruyter expositions in mathematics, 554 pp.Franel J. Les suites de Farey et le probleme des nombres premiers// G¨ottinger Nachrichten. 1924, S. 198–201.Franel J. 1924, “Les suites de Farey et le probleme des nombres premiers”, G¨ottinger Nachrichten, рр. 198–201.Landau E. Vorlesungen uber ¨ Zahlentheorie. Leipzig, 1927 V.2. 240 c.Landau E. 1927, “Vorlesungen ¨uber Zahlentheorie”, Leipzig, vol. 2, р. 240.Романов Н. П. Теория чисел и функциональный анализ: сборник трудов. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2013. 478 с.Romanov, N. P. 2013, “Teorija chisel i funkcional’nyj analiz: sbornik trudov”, [Number theory and functional analysis: collected papers], Tom. Univ., Tomsk, 478 pp. (Russian)Greaves G. R. H., Hall R. R., Huxley M. N., Wilson J. C. Multiple Franel Integrals// Mathematika, 1993. V.40. P.51–70.Greaves G. R. H., Hall R. R., Huxley M. N. & Wilson J. C. 1993, “Multiple Franel Integrals” Mathematika, vol. 40, pp. 51–70.Чубариков В. Н. Об одном кратном тригонометрическом интеграле// До- кл. АН СССР. 1976. Т.227, № 6. С. 1308–1310.Cubarikov V. N. 1976, “On a multiple trigonometric integral” ˇ Dokl. AN SSSR, vol. 227, no. 6, pp. 1308–1310.Чубариков В. Н. О кратных рациональных тригонометрических суммах и кратных интегралах// Мат. заметки. 1978. Т.20, № 1. С. 61–68.Cubarikov V. N. 1978, “Multiple rational trigonometric sums and multiple ˇ integrals”, Mat. Zametki vol. 20, no. 1, рр. 61–68.Чубариков В. Н. О показателе сходимости особого интеграла одной многомерной аддитивной проблемы// Докл. АН СССР. 2015. Т.463, № 5. С. 530.Cubarikov V. N. 2015, “Convergence exponent of singular integral in a multi- ˇ dimensional additive problem” Dokl. RAN, vol. 463, no. 5, p. 530.Чубариков В. Н. Арифметические суммы и гауссова теорема умножения// Чебышевский сборник. 2015. Т.16, вып. 2(54). С. 231–253.Cubarikov V. N. 2015, “The arithmetic sum and gaussian multiplication theo- ˇ rem” Chebyshevskii Sb., vol. 16, no. 2(54), рр. 231–253.Чубариков В. Н. Элементарный вывод оценки полной рациональной арифметической суммы от многочлена// Чебышевский сборник. 2015. Т. 16, вып. 3(55). С. 452–461.Cubarikov V. N. 2015, “Elementary of the complete rational arithmetical sums” ˇ Chebyshevskii Sb., vol. 16, no. 3(55), рр. 452–461.Чубариков В. Н. Полные рациональные арифметические суммы// Вестник Моск. ун-та. Сер. мат., мех. 2016. Вып. 1. С. 60–61.Cubarikov V. N. 2016, “Full rational arithmetic sums” ˇ Vestnik Moskov. Univ. Ser. Mat., Mech., vol. 1, рр. 60–61.Чубариков В. Н. Арифметические суммы от значений многочленов// Докл. РАН. 2016. Вып. 466, № 2. С. 1–2.Cubarikov V. N. 2016, “The arithmetic sum of the values of polynomials” ˇ Dokl. RAN, vol. 466, no. 2, рр. 1–2.Шихсадилов М. Ш. Об одном классе осцилирующих интегралов, Вестник Моск. ун-та. Сер. мат., мех. 2015. Вып. 5. С. 61–63.Shihsadilov, M. Sh. “A class of oscillatory integrals” Vestnik Moskov. Univ. Ser. Mat., Mech., vol. 5, рр. 61–63.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.