Теория n-арных групп возникла как обобщение теории обычных (бинарных) групп. Многие определения из теории групп имеют n-арный аналог в теории n-арных групп. Например, n-арными аналогами абелевой группы являются абелева и полуабелева n-арные группы. n- арная группа ⟨G, f⟩ называется полуабелевой, если в ней верно тождество f(x1, x2, . . . , xn −1, xn) = f(xn, x2, . . . , xn−1, x1). Если же в n-арной группе ⟨G, f⟩ верны тождества f(x1, . . . , xn) = f(xσ(1), . . . , xσ(n)) для любой подстановки σ ∈ Sn, то ее называют абелевой. Имеется тесная связь между группами и n-арными группами. Отметим частный случай теоремы Глускин-Хоссу для полуабелевых n-арных групп. На любой полуабелевой n-арной группе ⟨G, f⟩ можно определить абелеву группу ⟨G,+⟩, где a + b = f(a, c, . . . , c, ¯c, b) для c из G. Тогда для элемента d = f(c, . . . , c) и автоморфизма ϕ(x) = f(c, x, c, . . . , c, ¯c) группы ⟨G,+⟩, верны равенства ϕ(d) = d, ϕn−1(x) = x для любого x ∈ G, f(a1, . . . , an) = a1 + ϕ(a2) + . . . + ϕn−2(an−1) + an + d. Группу ⟨G,+⟩ называют ретрактом n-арной группы ⟨G, f⟩ и обозначают retc⟨G, f⟩. Верно и обратно: в любой абелевой группе ⟨G,+⟩ для выбранных автоморфизма ϕ и элемента d с указанными выше условиями задается полуабелева n-арная группа ⟨G, f⟩. n-арную группу ⟨G, f⟩ в этом случае называют (ϕ, d)-определенной на группе ⟨G,+⟩ и обозначают derϕ,d⟨G,+⟩. Пусть ⟨G, f⟩ = derϕ,d⟨G,+⟩ – полуабелева n-арная группа. Для каждого автоморфизма ϕ′ группы ⟨G,+⟩, сопряженного автоморфизму ϕ, на группе ⟨G,+⟩ рассмотрим эндоморфизм μϕ′ (x) = x + ϕ′(x) + . . . + ϕ′n−2(x). Im μϕ′ – образ этого эндоморфизма. Пусть ϕ′ = θ ◦ ϕ ◦ θ−1. Тогда для каждого такого автоморфизма θ имеем смежный класс θ(d) + Im μϕ′ по подгруппе Im μϕ′ . Набор {θ(d) + Im μϕ′ | θ ∈ Aut ⟨G,+⟩} всех таких смежных классов назовем определяющим набором множеств для n-арной группы ⟨G, f⟩. Доказано, что полуабелевы n-арные группы ⟨G, f⟩ = derϕ,d⟨G,+⟩ и ⟨G, f′⟩ = derψ,q⟨G,+⟩ изоморфны тогда и только тогда, когда автоморфизмы ϕ и ψ сопряжены в группе автоморфизмов группы ⟨G,+⟩ и определяющие наборы множеств этих n-арных групп одинаковые с точностью до перестановки. В работе изучаются конечные полуабелевы n-арные группы. Показано, что любая полуабелева n-арная группа ⟨G, f⟩ порядка |G| = pα1 1 pα2 2 . . . pαk k изоморфна прямому произведению ⟨G1, f1⟩ × ⟨G2, f2⟩ × . . . × ⟨Gk, fk⟩ n-арных pi-групп ⟨Gi, fi⟩ порядков |Gi| = pαi i , где pi – различные простые числа. Это разложение определено однозначно. Опираясь на указанное разложение конечной полуабелевой n-арной группы в прямое произведение примарных полуабелевых n-арных групп и на его единственность, мы приходим к основному утверждению о конечных полуабелевых n-арных группах: всякая конечная полуабелева n-арная группа изоморфна прямому произведению примарных полуабелевых n-арных групп. Любые два таких разложения имеют по одинаковому числу множителей и примарные множители в этих разложениях по одному и тому же простому числу имеют одинаковые инварианты. Доказана основная теорема о строении конечных абелевых n-арных групп: всякая конечная абелева n-арная группа изоморфна прямому призведению примарных абелевых полуциклических n-арных групп. Любые два таких разложения имеют по одинаковому числу множителей каждого порядка и по каждому простому делителю порядка этой n-арной группы произведения примарных множителей в этих разложениях имеют одинаковые инварианты.