В работе изучаются гамильтоново простые алгебры и решетки гамильтоново замкнутых подалгебр в классе алгебр с одним оператором. Результаты, полученные для алгебр с произвольной основной сигнатурой, используются для описания гамильтоново простых алгебр и решеток гамильтоново замкнутых подалгебр в классе унаров с мальцевской операцией, определенной В. К. Карташовым. Унаром с мальцевской операцией называется алгебра, сигнатура которой состоит из мальцевской операции и унарной операции, действующей как эндоморфизм относительно первой операции. Универсальная алгебра A называется гамильтоновой, если носитель любой ее подалгебры является классом некоторой конгруэнции алгебры A. А. Г. Пинус определил понятие гамильтонова замыкания на произвольной универсальной алгебре. А именно, гамильтоновым замыканием B подалгебры B универсальной алгебры A называется наименьшая подалгебра алгебры A, включающая в себя B и являющаяся классом некоторой конгруэнции алгебры A. Подалгебра B универсальной алгебры A называется гамильтоново замкнутой, если B = B. Cовокупность всех гамильтоново замкнутых подалгебр алгебры A, пополненная пустым множеством, образует решетку относительно включения. Универсальная алгебра A называется гамильтоново простой, если гамильтоново замыкание любой ее неодноэлементной непустой подалгебры совпадает с A. Получены необходимые условия гамильтоновой простоты для произвольных алгебр с оператором, все основные операции которых имеют положительную арность и являются идемпотентными. Для таких алгебр построены семейства подалгебр, образующих цепи в их решетках гамильтоново замкнутых подалгебр. В случае, когда унарный редукт алгебры связен, необходимые условия гамильтоновой простоты получены для алгебр с оператором, имеющих произвольную основную сигнатуру. Показано также, что эти условия не являются достаточными. Для произвольной алгебры с оператором, все основные операции которой идемпотентны, получены необходимые условия того, что ее решетка гамильтоново замкнутых подалгебр является цепью. Найдены необходимые и достаточные условия гамильтоновой простоты для унаров с мальцевской операцией, определенной В. К. Карташовым. Получено описание строения решеток гамильтоново замкнутых подалгебр для алгебр данного класса. Для таких решеток найдены необходимые и достаточные условия их дистрибутивности и модулярности, а также условия, при которых решетка является цепью. Описано строение атомов и коатомов этих решеток.
In this article we study Hamiltonian simple algebras and lattices of Hamiltonian closed subalgebras in class of algebras with one operator. Obtained for algebras with arbitrary basic signature results are used for the description of Hamiltonian simple algebras and lattices of Hamiltonian closed subalgebras from class of unars with Mal’tsev operation that by V. K. Kartashov were defined. Unar with Mal’tsev operation is an algebra with one Mal’tsev operation p(x, y, z) and one unary operation acting as endomorphism with respect to operation p(x, y, z). Universal algebra A is called Hamiltonian if every subuniverse of A is a block of some congruence of the algebra A. A. G. Pinus defined a Hamiltonian closure on an arbitrary universal algebra. Precisely, the Hamiltonian closure B of a subalgebra B of a universal algebra A is the smallest subalgebra of algebra A containing B that coincides with some block of some congruence on algebra A. Subalgebra B of universal algebra A is called Hamiltonian closed if B = B. Set of all Hamiltonian closed subalgebras of algebra A with added empty set is lattice with respect to inclusion. A universal algebra A is called a Hamiltonian simple algebra if B = A for each non-empty and non-one-element subalgebra B of A. We found necessary conditions of Hamiltonian simplicity for arbitrary algebras with one operator and idempotent basic operations of positive arity. For these algebras families of their subalgebras forming chains with respect to inclusion in their lattices of Hamiltonian closed subalgebras are constructed. We also found necessary conditions of Hamiltonian simplicity for arbitrary algebras with one operator and with connected unary reduct. It is showed these conditions are not sufficient. For arbitrary algebras with one operator and idempotent basic operations necessary conditions of their lattice of Hamiltonian closed subalgebras is chain are obtained. We found necessary and sufficient conditions of Hamiltonian simplicity for unars with Mal’tsev operation that by V. K. Kartashov were defined. The structure of lattices of Hamiltonian closed subalgebras for algebras from this class is described. For these lattices necessary and sufficient conditions of their distributivity and modularity are obtained. We also found necessary and sufficient conditions when a lattice of Hamiltonian closed subalgebras of algebras from given class is a chain. The structure of atoms and coatoms of such lattices is described.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.