chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2015-16-4-250-283cheb-198Research ArticleСтатьиArticleВЫЧИСЛЕНИЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ S-ЕДИНИЦ В ГИПЕРЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ПОЛЯХ РОДА 2 И ПРОБЛЕМА КРУЧЕНИЯ В ЯКОБИАНАХ ГИПЕРЭЛЛИПТИЧЕСКИХ КРИВЫХCALCULATION OF THE FUNDAMENTAL S-UNITS IN HYPERELLIPTIC FIELDS OF GENUS 2 AND THE TORSION PROBLEM IN THE JACOBIANS OF HYPERELLIPTIC CURVESПетрунинМ. М.PetruninM. M.Федеральный научный центр Научно-исследовательский институт системных исследований Российской академии наук (ФГУ ФНЦ НИИСИ РАН).Russian Federation201505072016164250283Copyright © Петрунин М.М., 20162016Петрунин М.М.Petrunin M.M.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/198В 2010 г

В 2010 г. В. П. Платоновым был предложен принципиально новый подход к проблеме кручения в якобиевых многообразиях гиперэллиптических кривых над полем рациональных чисел. Этот новый подход базируется на вычислении фундаментальных единиц в гиперэллиптических полях. С по- мощью указанного подхода было доказано существование точек кручения новых порядков. Полное изложение нового метода и полученных на его основе результатов содержится в [2]. В. П. Платонов высказал гипотезу, что если рассмотреть S, состоящее из конечного и бесконечного нормирования, и изменить соответствующим образом определение степени S-единицы, то порядки Q-точек кручения, как правило, будут определяться степенями фундаментальных S-единиц. Основным результатом настоящего сообщения является построение фундаментальных S-единиц больших степеней методами, основанными на подходе В. П. Платонова. Вычисление базируется на методах непрерывных дробей и матричной линеаризации. В настоящей статье получили развитие эффективные алгоритмы вы- числения S-единиц методом непрерывных дробей. Улучшенные алгоритмы позволили построить упомянутые выше фундаментальные S-единицы больших степеней. В качестве следствия получено альтернативное доказательство существования Q-точек кручения некоторых больших порядков в соответствующих якобианах гиперэллиптических кривых. 

 

 

A new approach to the torsion problem in the Jacobians of hyperelliptic curves over the field of rational numbers was offered by Platonov. This new approach is based on the calculation of fundamental units in hyperelliptic fields. The existence of torsion points of new orders was proved with the help of this approach. The full details of the new method and related results are contained in [2]. Platonov conjectured that if we consider the S consisting of finite and infinite valuation and change accordingly definition of the degree of S-unit, the orders of torsion Q-points tend to be determined by the degree of fundamental S-units. The main result of this article is the proof of existence of the fundamental S-units of large degrees. The proof is based on the methods of continued fractions and matrix linearization based on Platonov’s approach. Efficient algorithms for computing S-units using method of continued fractions have been developed. Improved algorithms have allowed to construct the above-mentioned fundamental S-units of large degrees. As a corollary, alternative proof of the existence of torsion Q-points of some large orders in corresponding Jacobians of hyperelliptic curves was obtained.

 

фундаментальные единицыS-единицыгиперэллиптические поляякобиевы многообразиягиперэллиптические кривыепроблема кручения в якобианахбыстрые алгоритмынепрерывные дробиматричная линеаризацияQ-точки кручнияfundamental unitS-unithyperelliptic fieldsJacobianhyperelliptic curvestorsion problem in Jacobiansfast algorithmscontinued fractionsmatrix linearizationtorsion Q-pointsРабота была выполнена при поддержке грантами РФФИ 13-01-12402 и 15-01-02094-а.ReferencesПлатонов В. П. Арифметика квадратичных полей и кручение в якобианах // Доклады РАН. 2010. Т. 430, №3. С. 318–320.Platonov, V. P. 2010, "Arithmetic of quadratic fields and torsion in Jacobians" , Dokl. Math, 81, 1, pp. 55–57Платонов В. П. Теоретико-числовые свойства гиперэллиптических полей и проблема кручения в якобианах гиперэллиптических кривых над полем рациональных чисел // УМН. 2014. Т. 69, вып.1 (415). С. 3–38.Platonov, V. P. 2014, "Number-theoretic properties of hyperelliptic fields and the torsion problem in Jacobians of hyperelliptic curves over the rational number field" , Russian Math. Surveys 69, 1, pp. 1–34.Платонов В. П., Петрунин М.М. Новые порядки точек кручения в якобианах кривых рода 2 над полем рациональных чисел // Доклады РАН. 2012. Т. 443, №6. С. 664–667.Platonov, V. P. & Petrunin, M. M. 2012, "New orders of torsion points in Jacobians of curves of genus 2 over the rational number field" , Dokl. Math, 85, 2, pp. 286–288.Платонов В. П., Петрунин М. М. О проблеме кручения в якобианах кривых рода 2 над полем рациональных чисел // Доклады РАН. 2012. Т. 446. №3. С. 263-264.Platonov, V. P. & Petrunin, M. M. 2012, "On the torsion problem in jacobians of curves of genus 2 over the rational number field" , Dokl. Math, 86, 2, pp. 642– 643.Платонов В. П., Петрунин М. М. Фундаментальные S-единицы в гиперэллиптических полях и проблема кручения в якобианах гиперэллиптических кривых // Доклады РАН. 2015. Т. 465, №1. С. 23–25.Platonov, V. P. & Petrunin, M. M. 2015, "Fundamental S-units in hyperelliptic fields and the torsion problem in jacobians of hyperelliptic curves" , Dokl. Math, 92, 3, pp. 23–25.Беняш-Кривец В. В., Платонов В. П. Группы S-единиц в гиперэллиптических полях и непрерывные дроби // Математический сборник. 2009. Т. 200, №11. С. 15–44.Benyash-Krivets, V. V. & Platonov, V. P. 2009, "Groups of S-units in hyperelliptic fields and continued fractions" , Sb. Math, 200, 11, pp. 1587-1615.Ленг С. Введение в теорию диофантовых приближений. М.: Мир, 1970.Lang, S. 1966, "Introduction to diophantine approximations" , Reading, Mass., Addison-Wesley Pub. Co.Flynn E. V. Large rational torsion on abelian varieties // J. Number Theory. 1990. P. 257–265.Flynn, E. V. 1990. "Large rational torsion on abelian varieties" , J. Number Theory, pp. 257–265.Leprevost F. Famille de courbes de genre 2 munies dune classe de diviseurs rationnels dordre 13 // C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math. 1991. Vol. 313, №7. P. 451–454.Leprevost, F. 1991. "Famille de courbes de genre 2 munies dune classe de diviseurs rationnels dordre 13" , C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math, 313, 7, pp. 451–454.Leprevost F. Familles de courbes de genre 2 munies dune classe de diviseurs rationnels d’ordre // C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math. 1991. Vol. 313, №11. P. 771–774.Leprevost, F. 1991b. Familles de courbes de genre 2 munies dune classe de diviseurs rationnels d’ordre. C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math, 313, 11, pp. 771– 774.Leprevost F. Points rationnels de torsion de jacobiennes de certaines courbes de genre 2 // C.R. Acad. Sci. Paris. 1993. Vol. 316, №8. P. 819–821.Leprevost, F. 1993. "Points rationnels de torsion de jacobiennes de certaines courbes de genre 2" , C. R. Acad. Sci. Paris, 316, 8, pp. 819–821.Ogawa H. Curves of genus 2 with a rational torsion divisor of order 23 // Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci. 1994. Vol. 70, №9. P. 295–298.Ogawa, H. 1994. "Curves of genus 2 with a rational torsion divisor of order 23" , Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci, 70, 9, pp. 295–298.Leprevost F. Jacobiennes de certaines courbes de genre 2: torsion et simplicite // Journal de Theorie des Nombres de Bordeaux. 1995. Vol. 7, №1. P. 283–306.Leprevost, F. 1995. "Jacobiennes de certaines courbes de genre 2: torsion et simplicite" , Journal de Theorie des Nombres de Bordeaux, 7, 1, pp. 283–306.W. S. Cassels E. V. F. Prolegomena to a middlebrow arithmetic of curves of genus 2. Cambridge Univ. Press, 1996.W. S. Cassels, E. V. F. 1996. "Prolegomena to a middlebrow arithmetic of curves of genus 2" , Cambridge Univ. Press.E. W. Howe F. L., Poonen B. Large torsion subgroups of split Jacobians of curves of genus two or three // Forum Mathematicum. 2000. Vol. 12. P. 315–364.E. W. Howe, F. L. and Poonen, B. 2000. "Large torsion subgroups of split Jacobians of curves of genus two or three" , Forum Mathematicum, 12, pp. 315– 364.Nicolas B., Leprevost F., Pohst M. Jacobians of genus-2 curves with a rational point of order 11 // Experiment. Math. 2009. Vol. 18, №1. P. 65–70.Nicolas, B. et al. 2009. "Jacobians of genus-2 curves with a rational point of order 11" , Experiment. Math, 18, 1, pp. 65–70.Elkies N. D. Curves of genus 2 over Q whose Jacobians are absolutely simple abelian surfaces with torsion points of high order // preprint, Harvard University. 2010.Elkies, N. D. 2010. "Curves of genus 2 over Q whose Jacobians are absolutely simple abelian surfaces with torsion points of high order" , preprint Harvard University.Howe E. W. Genus-2 Jacobians with torsion points of large order // Bulletin of the London Mathematical Society. 2015. Vol. 47, №1. P. 127–135.Howe, E. W. 2015. "Genus-2 Jacobians with torsion points of large order" , Bulletin of the London Mathematical Society, 47, 1, pp. 127–135.Hart W., Van Hoeij M., Novocin A. Practical polynomial factoring in polynomial time //Proceedings of the 36th international symposium on Symbolic and algebraic computation. – ACM, 2011. P. 163-170.Hart W., Van Hoeij M.& Novocin A. 2011. "Practical polynomial factoring in polynomial time" , Proceedings of the 36th international symposium on Symbolic and algebraic computation, ACM, pp. 163–170.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.