В работе исследуется тензор инерции твердого тела в трехмерном (псевдо-)евклидовом пространстве (𝑉, 𝑔). Конфигурационное многообразие 𝑄 системы — шестимерная группа Ли E(𝑉, 𝑔) ∼= 𝑉 ⋋Aut(𝑉, 𝑔) движений этого пространства, а кинетическая энергия является квадратичной формой 𝑇(𝑤, 𝑎) на алгебре Ли e(𝑉, 𝑔) ∼= 𝑉 + g, где g = aut(𝑉, 𝑔). Это позволяет определить симметрический оператор 𝐽 : g → g* со свойством 𝑇(0, 𝑎) = 1/2 (𝐽𝑎, 𝑎), называемый (ковариантным) тензором инерции твердого тела. Для его вычисления введено «псевдо-евклидово векторное произведение» [, ]𝑔 в (псевдо-)евклидовом пространстве (𝑉, 𝑔) и с помощью этой операции построен изоморфизм 𝜇 : 𝑉 → g. Доказано, что при этом изоморфизме построенная операция [, ]𝑔 преобразуется в скобку Ли на алгебре Ли g, а скалярное произведение — в форму Киллинга – Картана с точностью до скалярного множителя. Получены явные формулы для операции [, ]𝑔.С помощью построенной операции [, ]𝑔 определен оператор ̃︀ 𝜔= 𝜇𝜔 ∈ g мгновенного вращения с угловой скоростью 𝜔 ∈ 𝑉 , и для любой точки 𝑞 ∈ 𝑉 определены ее вектор мгновенной скорости 𝑣 = ̃︀ 𝜔𝑞 = [𝜔, 𝑞]𝑔 ∈ 𝑉 , вектор кинетического момента 𝑀(𝑞) = [𝑞,𝑚𝑣]𝑔 ∈ 𝑉 и оператор инерции ̂︀ 𝐽(𝑞) : 𝑉 → 𝑉 , 𝜔 ↦→ 𝑀(𝑞). Доказаны симметричность оператора инерции ̂︀ 𝐽(𝑞) и формула 𝑇(𝑞) = 1/2 𝑔( ̂︀ 𝐽(𝑞)𝜔,𝜔) для кинетической энергии точки.Изучены геометрические свойства оператора инерции ̂︀ 𝐽 для одноточечных и многоточечных тел. В частности, в псевдо-евклидовом случае ограничение соответствующей квадратичной формы на внутренность светового конуса неотрицательно. Построены примеры 2- и 3-точечных тел, показывающие, что других ограничений на сигнатуру оператора инерции нет. Найдены все возможные сигнатуры для оператора инерции ̂︀ 𝐽 твердого тела в трехмерном псевдо-евклидовом пространстве. Доказано, что для тел, расположенных внутри светового конуса (например, для «тарелок» на плоскости Лобачевского), операторинерции имеет сигнатуру (−,+, +) или (0,+, +). Для тел, расположенных снаружи светового конуса, возможны сигнатуры (−, 𝑠,−) для всех 𝑠 ∈ {0,+, −}. Остальные сигнатуры (−,+, 0) и (−, 0, 0) также реализуются 2- и 3-точечными телами.
The paper studies the inertia tensor of a rigid body in three-dimensional (pseudo-)Euclidean space (𝑉, 𝑔). The configuration manifold 𝑄 of the system is the six-dimensional Lie group E(𝑉, 𝑔) ∼= 𝑉 ⋋ Aut(𝑉, 𝑔) of isometries of this space, and the kinetic energy is a quadratic form 𝑇(𝑤, 𝑎) on the Lie algebra e(𝑉, 𝑔) ∼= 𝑉 + g where g = aut(𝑉, 𝑔). This allows one to define a symmetric operator 𝐽 : g → g* with the property 𝑇(0, 𝑎) = 1/2 (𝐽𝑎, 𝑎), referred to as the (covariant) inertia tensor of the rigid body. To compute this tensor, a “pseudo-Euclidean vector cross product” [, ]𝑔 is introduced in the (pseudo-)Euclidean space (𝑉, 𝑔), and an isomorphism 𝜇 : 𝑉 → g is constructed using this operation. It is proved that this isomorphism transforms the operation [, ]𝑔 into the Lie bracket on the Lie algebra g, and the scalar product into the Cartan–Killing form, up to a scalar factor. Explicit formulas for the operation [, ]𝑔 are obtained.Using the operation [, ]𝑔, the operator ̃︀ 𝜔 = 𝜇𝜔 ∈ g of instantaneous rotation with angular velocity 𝜔 ∈ 𝑉 is defined. For any point 𝑞 ∈ 𝑉 , the vector 𝑣 = ̃︀ 𝜔𝑞 = [𝜔, 𝑞]𝑔 ∈ 𝑉 of instantaneous velocity, the vector 𝑀(𝑞) = [𝑞,𝑚𝑣]𝑔 ∈ 𝑉 of angular momentum and the inertia operator̂︀ 𝐽(𝑞) : 𝑉 → 𝑉 , 𝜔 ↦→𝑀(𝑞), are defined. The symmetricity of the inertia operator ̂︀ 𝐽(𝑞) is proved, along with the formula 𝑇(𝑞) = 1/2 𝑔( ̂︀ 𝐽(𝑞)𝜔,𝜔) for the kinetic energy of the point.Geometric properties of the inertia operator ̂︀ 𝐽 are studied for single- and multi-point bodies.In particular, in the pseudo-Euclidean case, the restriction of the corresponding quadratic form to the interior of the light cone is shown to be non-negative. Examples of two- and three-pointbodies are constructed showing that there are no additional restrictions on the signature of the inertia operator. All possible signatures of the inertia operator ̂︀ 𝐽 for a rigid body in threedimensional pseudo-Euclidean space are found. It is proved that, for bodies located within the light cone (e.g., “plates” in the Lobachevsky plane), the inertia operator has a signatureof (−,+, +) or (0,+, +). For bodies located outside the light cone, signatures of (−, 𝑠,−) are possible for all 𝑠 ∈ {0,+, −}. The remaining signatures (−,+, 0) and (−, 0, 0) are also realized by two- and three-point bodies.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.