chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2025-26-2-198-217cheb-1969Research ArticleСтатьиArticleТопология алгебраически разделимых интегрируемых системTopology of Algebraically Separable Integrable SystemsНиколаенкоСтанислав СергеевичNikolaenkoStanislav Sergeevich

кандидат физико-математических наук

candidate of physical and mathematical sciences

nikostas@mail.ruМосковский физико-технический институт (национальный исследовательский университет); Московский государственный университет им. М. В. ЛомоносоваРоссияMoscow Institute of Physics and Technology (National Research University); Lomonosov Moscow State UniversityRussian Federation202510072025262198217Copyright © Николаенко С.С., 20252025Николаенко С.С.Nikolaenko S.S.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1969

Даётся классификация простейших 3-мерных особенностей регулярных алгебраически разделимых интегрируемых систем. Такие системы представляют собой важный класс интегрируемых по Лиувиллю гамильтоновых систем с двумя степенями свободы и встречаются во многих задачах механики и геометрии. Используемая в статье техника основана на анализе некоторой Z_2-матрицы, однозначно определяемой выражениями исходных фа-зовых переменных через переменные разделения.

We classify the simplest 3-dimensional singularities of regular algebraically separable integrable systems. Such systems form an important class of Liouville integrable Hamiltonian systems with two degrees of freedom and occur in many problems of mechanics and geometry.The techniques elaborated in the paper is based on the analysis of a certain Z2-matrix uniquely determined by the expressions of the initial phase variables via the separating variables.

интегрируемость по Лиувиллюалгебраически разделимая системаслоение Лиувиллятопологический инвариант3-атом.Liouville integrabilityalgebraically separable systemLiouville foliationtopological invariant3-atom.ReferencesБолсинов А. В., Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топология, классификация. В 2 т. Ижевск: Изд. дом “Удмуртский университет”, 1999. 444 с., 447 с.Bolsinov, A. V. & Fomenko, A. T. 2004, “Integrable Hamiltonian systems. Geometry, topology, classification“, Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, FL, 730 p.Фоменко А.Т. Топологические инварианты гамильтоновых систем, интегрируемых по Лиувиллю // Функц. анализ и его прил. 1988. Том 22, №4. С. 38–51.Fomenko A. T. 1988, “Topological invariants of Liouville integrable Hamiltonian systems”, Funct. Anal. Appl., vol. 22, no. 4, pp. 286–296.Болсинов А. В., Матвеев С. В., Фоменко А.Т. Топологическая классификация интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Список систем малой сложности // УМН. 1990. Том 45, №2. С. 49–77.Bolsinov A. V., Matveev S. V. & Fomenko A. T. 1990, “Topological classification of integrable Hamiltonian systems with two degrees of freedom. List of systems of small complexity”, Russian Math. Surveys, vol. 45, no. 2, pp. 59–94.Фоменко А.Т., Цишанг Х. Топологический инвариант и критерий эквивалентности интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1990. Том 54, №3. С. 546–575.Fomenko A. T. & Zieschang H. 1991, “A topological invariant and a criterion for the equivalence of integrable Hamiltonian systems with two degrees of freedom”, Math. USSR-Izv., vol. 36, no. 3, pp. 567–596.Харламов М.П. Топологический анализ и булевы функции: I. Методы и приложения к классическим системам // Нелинейная динам. 2010. Том 6, №4. С. 769–805.Kharlamov M.P. 2010, “Topological analysis and Boolean functions. I. Methods and applications to classical systems”, Nelin. Dinam., vol. 6, no. 4, pp. 769–805. (In Russian).Орёл О. Е. Функция вращения для интегрируемых задач, сводящихся к уравнениям Абеля. Траекторная классификация систем Горячева–Чаплыгина // Матем. сб. 1995. Том 186, №2. С. 105–128.Orel O. E. 1995, “Rotation function for integrable problems reducing to the Abel equations. Orbital classification of Goryachev–Chaplygin systems”, Sb. Math., vol. 186, no. 2, pp. 271–296.Харламов М. П., Савушкин А.Ю. Геометрический подход к разделению переменных в механических системах // Вестник ВолГУ. Сер. 1. 2010. Вып. 13. С. 47–74.Kharlamov M.P. & Savushkin A.Yu. 2010, “Geometrical approach to separation of variables in mechanical systems”, Vestnik Volgograd. Univ. Ser. 1, vol. 13, pp. 47–74. (In Russian).Харламов М. П. Топологический анализ и булевы функции: II. Приложения к новым алгебраическим решениям // Нелинейная динам. 2011. Том 7, №1. С. 25–51.Kharlamov M.P. 2011, “Topological analysis and Boolean functions. II. Application to new algebraic solutions”, Nelin. Dinam., vol. 7, no. 1, pp. 25–51. (In Russian).Рябов П. Е. Фазовая топология одного частного случая интегрируемости Горячева в динамике твердого тела // Матем. сб. 2014. Том 205, №7. С. 115–134.Ryabov P. E. 2014, “The phase topology of a special case of Goryachev integrability in rigid body dynamics”, Sb. Math., vol. 205, no. 7, pp. 1024–1044.Харламов М. П., Рябов П. Е. Топологический атлас волчка Ковалевской в двойном поле // Фундамент. и прикл. матем. 2015. Том 20, №2. С. 185–230.Kharlamov M.P. & Ryabov P. E. 2017, “Topological atlas of the Kovalevskaya top in a double field”, J. Math. Sci., vol. 223, no. 6, pp. 775–809.Kharlamov M.P., Ryabov P. E., Savushkin A.Yu. Topological Atlas of the Kowalevski–Sokolov Top // Regul. Chaotic Dyn. 2016. Vol. 21, №1. P. 24–65.Kharlamov M.P., Ryabov P. E. & Savushkin A.Yu. 2016, “Topological Atlas of the Kowalevski– Sokolov Top”, Regul. Chaotic Dyn., vol. 21, no. 1, pp. 24–65.Кобцев И. Ф. Геодезический поток двумерного эллипсоида в поле упругой силы: топологическая классификация решений // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех. 2018. №2. С. 27–33.Kobtsev I. F. 2018, “The geodesic flow on a two-dimensional ellipsoid in the field of an elastic force. Topological classification of solutions”, Moscow University Mathematics Bulletin, vol. 73, no. 2, pp. 64–70.Кобцев И. Ф. Эллиптический биллиард в поле потенциальных сил: классификация движений, топологический анализ // Матем. сб. 2020. Том 211, №7. С. 93–120.Kobtsev I. F. 2020, “An elliptic billiard in a potential force field: classification of motions, topological analysis”, Sb. Math., vol. 211, no. 7, pp. 987–1013.Пустовойтов С. Е. Исследование структуры слоения Лиувилля интегрируемого эллиптического биллиарда с полиномиальным потенциалом // Чебышевский сб. 2024. Том 25, №1. С. 62–102.Pustovoitov S. E. 2024, “Research of the structure of the Liouville foliation of an integrable elliptical billiard with polynomial potential”, Chebyshevskii Sbornik, vol. 25, no. 1, pp. 62–102. (In Russian).Николаенко С. С. Топологическая классификация систем Чаплыгина в динамике твердого тела в жидкости // Матем. сб. 2014. Том 205, №2. С. 75–122.Nikolaenko S. S. 2014, “A topological classification of the Chaplygin systems in the dynamics of a rigid body in a fluid”, Sb. Math., vol. 205, no. 2, pp. 224–268.Николаенко С. С. Топологическая классификация интегрируемого случая Горячева в динамике твердого тела // Матем. сб. 2016. Том 207, №1. С. 123–150.Nikolaenko S. S. 2016, “Topological classification of the Goryachev integrable case in rigid body dynamics”, Sb. Math., vol. 207, no. 1, pp. 113–139.Nikolaenko S. S. Topological classification of the Goryachev Integrable systems in the rigid body dynamics: non-compact case // Lobachevskii J. Math. 2017. Vol. 38, №6. P. 1050–1060.Nikolaenko S. S. 2017, “Topological Classification of the Goryachev Integrable Systems in the Rigid Body Dynamics: Non-Compact Case”, Lobachevskii J. Math., vol. 38, no. 6, pp. 1050–1060.Zorich A. Square tiled surfaces and Teichm¨uller volumes of the moduli spaces of Abelian differentials. Rigidity in dynamics and geometry. Springer, Berlin, 2002. P. 459–471.Zorich A. 2002, “Square tiled surfaces and Teichm¨uller volumes of the moduli spaces of Abelian differentials. Rigidity in dynamics and geometry”, Springer, Berlin, pp. 459–471.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.