chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2025-26-2-186-197cheb-1968Research ArticleСтатьиArticleО расстоянии Громова – Хаусдорфа между облаком ограниченных метрических пространств и облаком с нетривиальной стационарной группойOn the Gromov – Hausdorff distance between the cloud of bounded metric spaces and a cloud with nontrivial stabilizerНестеровБорис АркадьевичNesterovBoris Arkadyevichnesterov.boris123@gmail.comМосковский государственный университет им. М. В. ЛомоносоваРоссияLomonosov Moscow State UniversityRussian Federation202510072025262186197Copyright © Нестеров Б.А., 20252025Нестеров Б.А.Nesterov B.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1968

В статье обсуждается класс всех метрических пространств, рассматриваемых с точностью до нулевого расстояния Громова – Хаусдорфа между ними. Этот класс разбивается на облака — классы пространств, лежащих на конечном расстоянии от данного. В работе доказывается, что каждое облако является собственным классом. Между облаками естественно определяется расстояние Громова – Хаусдорфа по аналогии с метрическими пространствами. В работе показано, что при некоторых ограничениях расстояние между облаком ограниченных метрических пространств и облаком с нетривиальной стационарной группой равно бесконечности. В частности, посчитано расстояние между облаком ограниченных метрических пространств и облаком, содержащим вещественную прямую.

The paper studies the class of all metric spaces considered up to zero Gromov – Hausdorff distance between them. In this class, we examine clouds — classes of spaces situated at finite Gromov – Hausdorff distances from a reference space. The paper proves that all clouds areproper classes. The Gromov – Hausdorff distance is defined for clouds analogous to the case of metric spaces. The paper shows that under certain limitations the distance between the cloud of bounded metric spaces and a cloud with a nontrivial stabilizer is finite. In particular, the distance between the cloud of bounded metric spaces and the cloud containing the real line is calculated.

метрические пространстварасстояние Громова – Хаусдорфаоблакасобственный класс.metric spacesGromov – Hausdorff distancecloudsproper class.ReferencesEdwards D. The Structure of Superspace // Studies in Topology / Ed. by Stavrakas N.M., Allen K.R. New York: Academic Press, 1975. P. 89-110.Edwards, D., 1975, “The Structure of Superspace”, in Studies in Topology, eds. Stavrakas, N.M., Allen, K.R., New York: Academic Press.Gromov M. Structures m´etriques pour les vari´et´es riemanniennes / Ed. by Lafontaine J., Pansu P. Paris: CEDIC, 1981. 152 p.Gromov, M., 1981, Structures m´etriques pour les vari´et´es riemanniennes, eds. Lafontaine, J., Pansu, P., Paris: CEDIC.Gromov M. Metric structures for Riemannian and non-Riemannian spaces. Boston: Birkh¨auser, 1999. 585 p. ISBN 0-8176-3898-9.Gromov, M., 1999, Metric structures for Riemannian and non-Riemannian spaces, Boston: Birkh¨auser. ISBN 0-8176-3898-9.M´emoli F., Sapiro G. Comparing point clouds // Proceedings of the 2004 Eurographics/ACM SIGGRAPH symposium on Geometry processing. New York: ACM, 2004. P. 32-40. DOI: 10.1145/1057432.1057436.M´emoli, F., Sapiro, G., 2004, “Comparing point clouds”, in Proceedings of the 2004 Eurographics/ ACM SIGGRAPH symposium on Geometry processing, New York: ACM, pp. 32-40. DOI: 10.1145/1057432.1057436.Sukkar F., Wakulicz J., Lee K.M.B., Zhi W., Fitch R. Multi-query Robotic Manipulator Task Sequencing with Gromov – Hausdorff Approximations // ArXiv e-prints. 2024. arXiv:2209.04800 [cs.RO].Sukkar, F., Wakulicz, J., Lee, K.M.B., Zhi, W., Fitch, R., 2024, “Multi-query Robotic Manipulator Task Sequencing with Gromov – Hausdorff Approximations”, ArXiv e-prints, arXiv:2209.04800 [cs.RO].M´emoli F. Gromov – Hausdorff distances in Euclidean spaces // 2008 IEEE Computer Society Conference on Computer Vision and Pattern Recognition Workshops. Anchorage: IEEE, 2008. P. 1-8.M´emoli, F., 2008, “Gromov – Hausdorff distances in Euclidean spaces”, in 2008 IEEE Computer Society Conference on Computer Vision and Pattern Recognition Workshops, Anchorage: IEEE, pp. 1-8.Bogatyy S.A., Tuzhilin A.A. Gromov – Hausdorff class: its completeness and cloud geometry // ArXiv e-prints. 2021. arXiv:2110.06101 [math.MG].Bogatyy, S.A., Tuzhilin, A.A., 2021, “Gromov – Hausdorff class: its completeness and cloud geometry”, ArXiv e-prints, arXiv:2110.06101 [math.MG].von Neumann J. Eine Axiomatisierung der Mengenlehre // Journal f¨ur die reine und angewandte Mathematik. 1925. Vol. 154. P. 219-240.von Neumann, J., 1925, “Eine Axiomatisierung der Mengenlehre”, Journal f¨ur die Reine und Angewandte Mathematik, vol. 154, pp. 219-240.Bernays P. A System of Axiomatic Set Theory - Part I // The Journal of Symbolic Logic. 1937. Vol. 2, No 1. P. 65-77. DOI: 10.2307/2268862.Bernays, P., 1937, “A System of Axiomatic Set Theory - Part I”, The Journal of Symbolic Logic, vol. 2, no. 1, pp. 65-77. DOI: 10.2307/2268862.G¨odel K. The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum Hypothesis with the Axioms of Set Theory. Princeton: Princeton University Press, 1940. 72 p. ISBN 978-0-691-07927-1.G¨odel, K., 1940, The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum Hypothesis with the Axioms of Set Theory, Princeton: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-07927-1.Borzov S.I., Ivanov A.O., Tuzhilin A.A. Extendability of Metric Segments in Gromov – Hausdorff Distance // ArXiv e-prints. 2020. arXiv:2009.00458 [math.MG].Borzov, S.I., Ivanov, A.O., Tuzhilin, A.A., 2020, “Extendability of Metric Segments in Gromov – Hausdorff Distance”, ArXiv e-prints, arXiv:2009.00458 [math.MG].Bogataya S.I., Bogatyy S.A., Redkozubov V.V., Tuzhilin A.A. Clouds in Gromov – Hausdorff Class: their completeness and centers // ArXiv e-prints. 2022. arXiv:2202.07337 [math.MG].Bogataya, S.I., Bogatyy, S.A., Redkozubov, V.V., Tuzhilin, A.A., 2022, “Clouds in Gromov – Hausdorff Class: their completeness and centers”, ArXiv e-prints, arXiv:2202.07337 [math.MG].Burago D., Burago Yu., Ivanov S. A Course in Metric Geometry. Providence: AMS, 2001. 512 p.Burago, D., Burago, Y.D., Ivanov, S.O., 2001, A Course in Metric Geometry, Providence: American Mathematical Society.Bogataya S.I., Bogatyy S.A. Isometric Cloud Stabilizer // Topology and its Applications. 2023. Vol. 329. P. 108-125.Bogataya, S.I., Bogatyy, S.A., 2023, “Isometric Cloud Stabilizer”, Topology and its Applications, vol. 329, pp. 108-125.Levy A. Basic set theory. Perspectives in mathematical logic. Berlin: Springer, 1979. 420 p.Levy, A., 1979, Basic Set Theory, Berlin: Springer-Verlag.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.