chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2025-26-2-176-185cheb-1967Research ArticleСтатьиArticleНовые геодезические в классе Громова – Хаусдорфа, лежащие в облаке вещественной прямойNew geodesic lines in the Gromov – Hausdorff class lying in the cloud of the real lineМихайловИван НиколаевичMikhailovIvan Nikolaevichivan.mikhailov@math.msu.ruМосковский государственный университет им. М. В. ЛомоносоваРоссияLomonosov Moscow State UniversityRussian Federation202510072025262176185Copyright © Михайлов И.Н., 20252025Михайлов И.Н.Mikhailov I.N.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1967

В данной работе мы показываем, что кривая вида 𝐴 ×ℓ1 (𝑡𝑋), 𝑡 ∈ [0, ∞) для ограниченного пространства 𝑋 и неограниченного подмножества 𝐴 ⊂ R является геодезической в классе Громова – Хаусдорфа. Также мы показываем, что для произвольных 𝜆 > 1,𝑛 ∈ N выполнено неравенство dist𝐺𝐻 (︀Z𝑛, 𝜆Z𝑛)︀⩾ 1/2 . Отсюда следует, во-первых, что кривая 𝑡Z𝑛, 𝑡 ∈ (0, ∞) не является непрерывной в классе Громова – Хаусдорфа (в частности, не является геодезической), и, во-вторых, что отображение умножения всех пространств на конечном расстоянии Громова – Хаусдорфа от R𝑛 на произвольное 𝜆 > 0 не является непрерывным.

In the paper we prove that, for arbitrary unbounded subset 𝐴 ⊂ 𝑅 and an arbitrary bounded metric space 𝑋, a curve 𝐴 ×ℓ1 (𝑡𝑋), 𝑡 ∈ [0, ∞) is a geodesic line in the Gromov – Hausdorff class. We also show that, for abitrary 𝜆 > 1, 𝑛 ∈ N, the following inequality holds: dist𝐺𝐻 (︀Z𝑛, 𝜆Z𝑛)︀⩾ 1/2 . We conclude that a curve 𝑡Z𝑛, 𝑡 ∈ (0, ∞) is not continuous with respect to the Gromov – Hausdorff distance, and, therefore, is not a gedesic line. Moreover, it follows that multiplication of all metric spaces lying on the finite Gromov – Hausdorff distance from R𝑛on some 𝜆 > 0 is also discontinous with respect to the Gromov – Hausdorff distance.

расстояние Громова – Хаусдорфагеодезическаядекартово произведение.Gromov –Hausdorff distancegeodesic lineCartesian productReferencesБогатый С.А., Тужилин А.А. Класс Громова–Хаусдорфа: полнота и геометрия облаков // ArXiv e-prints. 2021. arXiv:2110.06101.Bogaty, S.A., Tuzhilin, A.A., 2021, “Gromov – Hausdorff class: its completeness and cloud geometry”, ArXiv e-prints, arXiv:2110.06101.Бураго Д., Бураго Ю., Иванов С. Курс метрической геометрии. М.: МЦНМО, 2004. 512 с. (Пер. с англ.: Burago D., Burago Yu., Ivanov S. A Course in Metric Geometry. Providence: AMS, 2001).Burago, D., Burago, Yu., Ivanov, S., 2001, A Course in Metric Geometry, Graduate Studies in Mathematics 33, AMS.Эдвардс Д. Структура суперпространства // Исследования по топологии. М.: Мир, 1979. С. 45–62. (Пер. с англ.: Edwards D. The structure of superspace // Studies in Topology. N.Y.: Academic Press, 1975. P. 89–110).Edwards, D., 1975, “The structure of superspace”, in Studies in Topology, Academic Press.Громов М. Группы полиномиального роста и экспансирующие отображения // Публикации Математического института высших научных исследований. 1981. Т. 53. С. 53–78. (Пер. с фр.: Gromov M. Groups of polynomial growth and expanding maps // Publications Mathematiques I.H.E.S. 1981. Vol. 53. P. 53–78).Gromov, M., 1981, “Groups of polynomial growth and expanding maps”, Publications Mathematiques I.H.E.S., vol. 53, pp. 53–78.Громов М. Метрические структуры для римановых многообразий. М.: Мир, 1991. 328 с. (Пер. с фр.: Gromov M. Structures m´etriques pour les vari´et´es riemanniennes. Paris: Cedic/Fernand Nathan, 1981).Gromov, M., 1981, Structures m´etriques pour les vari´et´es riemanniennes, Textes Math. 1.Карлссон Г.Э., Мемоли Ф. Характеризация, устойчивость и сходимость методов иерархической кластеризации // Журнал машинного обучения. 2010. Т. 11, № 47. С. 1425–1470. DOI: 10.5555/1756006.1859911. (Пер. с англ.: Carlsson G.E., Memoli F. Characterization, stability and convergence of hierarchical clustering methods // J. Mach. Learn. Res. 2010. Vol. 11. P. 1425–1470).Carlsson, G.E., Memoli, F., 2010, “Characterization, stability and convergence of hierarchical clustering methods”, J. Mach. Learn., vol. 11, no. 47, pp. 1425–1470.Громов М. Метрические структуры для римановых и неримановых пространств. М.: МЦНМО, 2007. 496 с. (Пер. с англ.: Gromov M. Metric structures for Riemannian and non-Riemannian spaces. Boston: Birkh¨auser, 1999).Gromov, M., 1999, Metric structures for Riemannian and non-Riemannian spaces, Birkh¨auser.Кан Х., Соболев А.В. Распределение точек целочисленной решетки в шаре с центром в диофантовой точке // Математика. 2010. Т. 56, № 1. С. 118–134. (Пер. с англ.: Kang H., Sobolev A.V. Distribution of integer lattice points in a ball centred at a diophantine point // Mathematika. 2010. Vol. 56(1). P. 118–134).Kang, H., Sobolev, A.V., 2010, “Distribution of integer lattice points in a ball centred at a diophantine point”, Mathematika, vol. 56, no. 1, pp. 118–134.Лим С., Мемоли Ф., Смит З. Расстояние Громова–Хаусдорфа между сферами // ArXiv e-prints. 2022. arXiv:2105.00611v5.Lim, S., Memoli, F., Smith, Z., 2022, “The Gromov – Hausdorff distance between spheres”, ArXiv e-prints, arXiv:2105.00611v5.Тужилин А.А. Лекции по геометрии расстояний Хаусдорфа и Громова–Хаусдорфа. М.: МГУ, 2020. 210 с. // ArXiv e-prints. 2019. arXiv:2012.00756.Tuzhilin, A.A., 2019, Lectures on Hausdorff and Gromov – Hausdorff distance geometry, arXiv:2012.00756.Тужилин А.А. Кто изобрел расстояние Громова–Хаусдорфа? // Историко-математические исследования. 2017. Т. 18. С. 45–62 // ArXiv e-prints. 2016. arXiv:1612.00728.Tuzhilin, A.A., 2016, “Who invented the Gromov – Hausdorff Distance?”, ArXiv e-prints, arXiv:1612.00728.Вихров А. Плотность метрических пространств в общем положении в классе Громова–Хаусдорфа // Топология и ее приложения. 2024. Т. 342. С. 108771. DOI: 10.1016/j.topol.2024.108771.Vihrov, A., 2024, “Denseness of metric spaces in general position in the Gromov – Hausdorff class”, Topol. Its Appl., vol. 342, 108771.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.