chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2025-26-2-125-140cheb-1964Research ArticleСтатьиArticleБифуркации магнитных геодезических потоков на торических поверхностях вращенияBifurcations of magnetic geodesic flows on toric surfaces of revolutionКобцевИван ФедоровичKobtsevIvan Fedorovichint396.kobtsev@mail.ruКудрявцеваЕлена АлександровнаKudryavtsevaElena Alexandrovna

доктор физико-математических наук

doctor of physical and mathematical sciences

eakudr@mech.math.msu.suМосковский государственный технический университет им. Н.Э. БауманаРоссияBauman Moscow State Technical UniversityRussian FederationМосковский государственный университет им. М.В. Ломоносова; Московский центр фундаментальной и прикладной математикиРоссияLomonosov Moscow State University; Moscow Center of Fundamental and Applied MathematicsRussian Federation202510072025262125140Copyright © Кобцев И.Ф., Кудрявцева Е.А., 20252025Кобцев И.Ф., Кудрявцева Е.А.Kobtsev I.F., Kudryavtseva E.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1964

Изучаются магнитные геодезические потоки, инвариантные относительно вращений, на двумерном торе. Предполагается, что пара 2𝜋-периодических функций (𝑓, Λ), задающая динамическую систему, удовлетворяет условиям общего положения, при этом функция Λ, задающая магнитное поле, принимает значения в окружности, если магнитное поле не является точным. Описана топология слоения Лиувилля данной интегрируемой системы вблизи ее особых орбит и особых слоев, найдены типы этих особенностей. Описана топология слоения Лиувилля на неособых трехмерных изоэнергетических многообразиях путем вычисления инварианта Фоменко – Цишанга. Показано, что слоения Лиувиллядля геодезического потока и для неточного магнитного геодезического потока на любом изоэнергетическом многообразии имеют разную топологию. Описаны все возможные бифуркационные диаграммы отображений момента таких интегрируемых систем.

We study magnetic geodesic flows invariant under rotations on the 2-torus. The dynamical system is given by a generic pair of 2𝜋-periodic functions (𝑓, Λ), where the function Λ takes values in a circle if the magnetic field is not exact. Topology of the Liouville fibration ofthe given integrable system near its singular orbits and singular fibers is decribed. Types of these singularities are computed. Topology of the Liouville fibration on regular 3-dimensional isoenergy manifolds is described by computing the Fomenko-Zieschang invariant. It is shown that Liouville fibrations for geodesic flow and non-exact magnetic geodesic flow on any isoenergy manifold have different topology. All possible bifurcation diagrams of the momentum maps of such integrable systems are described.

точный магнитный геодезический потокинтегрируемая систематопология слоения Лиувиллябифуркационная диаграмма.exact magnetic geodesic flowintegrable systemtopology of the Liouville fibrationbifurcation diagram.ReferencesБолсинов А. В., Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топо-Bolsinov, A. V. & Fomenko, A. T. 2004, Integrable Hamiltonian systems: geometry, topology,логия, классификация. — Ижевск: Издательский дом «Удмуртский университет», 1999.classification, Chapman & Hall /CRC, Boca Raton, London, N.Y., Washington.Кантонистова Е. О. Топологическая классификация интегрируемых гамильтоновых си-Kantonistova, E. O. 2016, “Topological classification of integrable Hamiltonian systems in aстем на поверхностях вращения в потенциальном поле // Матем. сб. 2016. Т. 207, №3.potential field on surfaces of revolution”, Sb. Math., vol. 207, no. 3, pp. 358–399.С. 47–92.Timonina, D. S. 2018, “Liouville classification of integrable geodesic flows in a potential field onТимонина Д. С. Лиувиллева классификация интегрируемых геодезических потоков в по-two-dimensional manifolds of revolution: the torus and the Klein bottle”, Sb. Math., vol. 209,тенциальном поле на двумерных многообразиях вращения: торе и бутылке Клейна //no. 11, pp. 1644–1676.Матем. сб. 2018. Т. 209, №11. С. 103–136.Antonov, E. I. & Kozlov, I. K. 2020, “Liouville classification of integrable geodesic flows on aАнтонов Е. И., Козлов И. К. Лиувиллева классификация интегрируемых геодезическихprojective plane in potential field”, Chebyshevskii sbornik, vol. 21, no. 2, pp. 10–25.потоков на проективной плоскости в потенциальном поле // Чебышевский сборник. 2020.Kozlov, I. & Oshemkov, A. 2017, “Integrable systems with linear periodic integral for the LieТ. 21, №2. С. 10–25.algebra 𝑒(3)”, Lobachevskii J. Math., vol. 38, pp. 1014–1026. https://doi.org/10.1134/Kozlov I., Oshemkov A. Integrable systems with linear periodic integral for the Lie algebra 𝑒(3)S1995080217060063// Lobachevskii J. Math. 2017. Vol. 38. P. 1014–1026.Kudryavtseva, E. A. & Oshemkov, A. A. 2020, “Bifurcations of integrable mechanival systemsКудрявцева Е. А., Ошемков А. А. Бифуркации интегрируемых механических систем с маг-with magnetic field on surfaces of revolution”, Chebyshevskii sbornik, vol. 21, no. 2, pp. 244–265.нитным полем на поверхностях вращения // Чебышевский сборник. 2020. Т. 21, №2. С. 244–Fomenko, A. T. 1987, “The topology of surfaces of constant energy in integrable Hamiltoniansystems, and obstructions to integrability”, Math. USSR-Izv., vol. 29, no. 3, pp. 629–658.systems, and obstructions to integrability”, Math. USSR-Izv., vol. 29, no. 3, pp. 629–658.Фоменко А.Т. Топология поверхностей постоянной энергии интегрируемых гамильтоно-Fomenko, A. T. 1986. “Morse theory of integrable Hamiltonian systems”, Soviet Math. Dokl.,вых систем и препятствия к интегрируемости // Изв. АН СССР. Серия матем. 1986. Т. 50,vol. 33, no. 2, pp. 502–506.№6. С. 1276–1307.Kobtsev, I. F. & Kudryavtseva, E. A. 2024, “Bifurcations of magnetic geodesic flows on surfacesФоменко А.Т. Теория Морса интегрируемых гамильтоновых систем // Доклады АНof revolution”, Russian Journal of Mathematical Physics (in print).СССР. 1986. Т. 287, №5. С. 1071–1075.Fomenko, A. T. & Zieschang, H. 1987, “On the topology of the three-dimensional manifoldsKobtsev I. F., Kudryavtseva E. A. Bifurcations of magnetic geodesic flows on surfaces ofarising in Hamiltonian mechanics”, Soviet Math. Dokl., vol. 35, no. 2, pp. 520–534.revolution // Russian Journal of Mathematical Physics (in print).Fomenko, A. T. 1988, “Topological invariants of Liouville integrable Hamiltonian systems”,Фоменко А.Т., Цишанг Х. О топологии трехмерных многообразий, возникающих в га-Funct. Anal. Appl., vol. 22, no. 4, pp. 286–296.мильтоновой механике // Доклады АН СССР. 1987. Т. 294, №2. С. 283–287.Fomenko, A. T. & Zieschang, H. 1991, “A topological invariant and a criterion for the equivalenceФоменко А.Т. Топологические инварианты гамильтоновых систем, интегрируемых по Ли-of integrable Hamiltonian systems with two degrees of freedom”, Math.USSR Izv., vol. 36, no. 3,увиллю // Функц. анализ и его прил. 1988. Т. 22, №4. С. 38–51.pp. 567–596.Фоменко А.Т., Цишанг Х. Топологический инвариант и критерий эквивалентности инте-Vedyushkina, V. V. & Pustovoitov, S. E. 2023, “Classification of Liouville foliations of integrableгрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы // Изв. АН СССР. 1990.topological billiards in magnetic fields”, Sb. Math., vol. 214, no. 2, pp. 166–196.Т. 54, №3. С. 546–575.Bolsinov, A. V., Richter, P. H. & Fomenko, A. T. 2000, “The method of loop molecules and theВедюшкина В. В., Пустовойтов С. Е. Классификация слоений Лиувилля интегрируемыхtopology of the Kovalevskaya top”, Sb. Math., vol. 191, no. 2, pp. 151–188.топологических биллиардов в магнитном поле // Матем. сб. 2023. Т. 214, №2. С. 23–57.Efstathiou, K. & Giacobbe, A. 2012, “The topology associated with cusp singular points”,Болсинов А. В., Рихтер П., Фоменко А.Т. Метод круговых молекул и топология волчкаNonlinearity, vol. 25, pp. 3409–3422.Ковалевской // Матем. сб. 2000. Т. 191, №2. С. 3–42.Bolsinov, A. V., Guglielmi, L. & Kudryavtseva, E. A. 2018, “Symplectic invariants for parabolicEfstathiou K., Giacobbe A. The topology associated with cusp singular points // Nonlinearity.orbits and cusp singularities of integrable systems with two degrees of freedom”, PhilosophicalV. 25. P. 3409–3422.Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, vol. 376,Bolsinov A. V., Guglielmi L., Kudryavtseva E. A. Symplectic invariants for parabolic orbitsno. 2131, 20170424.and cusp singularities of integrable systems with two degrees of freedom // PhilosophicalLerman, L. M. & Umanskii, Ya. L. 1987, “The structure of a Poisson action of 𝑅2 on a fourdimensionalTransactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. 2018.symplectic manifold. I”, Selecta Math. Sov. (transl. from Russian preprint of 1981),V. 376, №2131. 20170424.vol. 6, pp. 365–396.Lerman L. M., Umanskii Ya. L. The structure of a Poisson action of 𝑅2 on a four-dimensionalLerman, L. M. & Umanskii, Ya. L. 1994, “Classification of four-dimensional integrable Hamiltoniansymplectic manifold. I // Selecta Math. Sov. 1987 (transl. from Russian preprint of 1981). V. 6.systems and Poisson actions of 𝑅2 in extended neighborhoods of simple singular points.P. 365–396.I”, Russian Acad. Sci. Sb. Math., vol. 77, no. 2, pp. 511–542.Lerman L. M., Umanskii Ya. L. Classification of four-dimensional integrable HamiltonianKudryavtseva, E. & Martynchuk, N. 2021, “Existence of a smooth Hamiltonian circle action nearsystems and Poisson actions of 𝑅2 in extended neighborhoods of simple singular points. Iparabolic orbits and cuspidal tori”, Regular and Chaotic Dynamics, vol. 26, no. 6, pp. 732–741.// Russian Acad. Sci. Sb. Math. 1994. V. 77, №2. P. 511–542.Kudryavtseva, E. A. 2022, “Hidden toric symmetry and structural stability of singularities inKudryavtseva E., Martynchuk N. Existence of a smooth Hamiltonian circle action near parabolicintegrable systems”, Europ. J. Math., vol. 8, pp. 1487–1549.orbits and cuspidal tori // Regular and Chaotic Dynamics. 2021. V. 26, №6. P. 732–741.orbits and cuspidal tori // Regular and Chaotic Dynamics. 2021. V. 26, №6. P. 732–741.Kudryavtseva E. A. Hidden toric symmetry and structural stability of singularities in integrableKudryavtseva E. A. Hidden toric symmetry and structural stability of singularities in integrablesystems // Europ. J. Math. 2022. V. 8. P. 1487–1549.systems // Europ. J. Math. 2022. V. 8. P. 1487–1549.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.