chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2025-26-2-90-100cheb-1963Research ArticleСтатьиArticleУстойчивость решений задачи Ферма –Торичелли в нормированных плоскостяхThe stability of Fermat –Torricelli problem’s locus in normed planesИлюхинДаниил АлександровичIlyukhinDaniil Alexandrovichdaniil.ilukhin@math.msu.ruМосковский государственный университет им. М. В. ЛомоносоваРоссияLomonosov Moscow State UniversityRussian Federation20251007202526290100Copyright © Илюхин Д.А., 20252025Илюхин Д.А.Ilyukhin D.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1963

В статье изучается устройство неединственных решений задачи Ферма –Торичелли в нормированных плоскостях. Была поставлена проблема наличия свойства устойчивостиу таких решений. Получены результаты в виде необходимых и достаточных условий для устойчивости всех решений для наборов из трёх точек в нормированной плоскости. Кроме того, в качестве иллюстрации были рассмотрены бифуркационные диаграммы решений и исследовано их строение.

The article studies the structure of non-unique solutions of the Fermat–Torricelli problem in normed planes. The problem of the presence of the stability property for such solutions was posed. The results were obtained in the form of necessary and sufficient conditions for thestability of all solutions for sets of three points in a normed plane. In addition, as an illustration, bifurcation diagrams of solutions were considered and their structure was investigated.

проблема Ферма –Торичеллинормирующий функционалустойчивость решений задачи Ферма –Торичелли.Fermat –Torricelli problemnorming functionalstability of Fermat –Torricelli problem’s locus.ReferencesBajaj C. The algebraic degree of geometric optimization problems. // 1988. Discr. Comput. Geom., 3, 177–191.Bajaj, C., 1988, “The algebraic degree of geometric optimization problems”, Discr. Comput. Geom., vol. 3, pp. 177–191.Boltyanski V., Martini H., Soltan V. Geometric methods and optimization problems. // 1999. Kluwer Acad. Publ.Boltyanski, V., Martini, H., Soltan, V., 1999, “Geometric methods and optimization problems”, Kluwer Acad. Publ.Brazil M., Graham R. L., Thomas D. A., Zachariasen M. On the History of the Euclidean Steiner Tree Problem // 2013.Brazil, M., Graham, R.L., Thomas, D.A., Zachariasen, M., 2013, “On the History of the Euclidean Steiner Tree Problem”.Cieslik D. The Fermat-Steiner-Weber-problem in Minkowski spaces. // 1988. Optimization 19, 485–489.Cieslik, D., 1988, “The Fermat-Steiner-Weber-problem in Minkowski spaces”, Optimization, vol. 19, pp. 485–489.Cockayne E. J., Melzak Z. A. Euclidean constructibility in graph-minimization problems. // 1969. Math. Mag., 42, 206–208.Cockayne, E.J., Melzak, Z.A., 1969, “Euclidean constructibility in graph-minimization problems”, Math. Mag., vol. 42, pp. 206–208.Durier R., Michelot C. Geometrical properties of the Fermat-Weber problem. // 1985. Europ. J. Oper. Res. 20, 332–343.Durier, R., Michelot, C., 1985, “Geometrical properties of the Fermat-Weber problem”, Europ. J. Oper. Res., vol. 20, pp. 332–343.Илюхин Д. А. 2022, “Проблема Ферма –Торичелли в случае трёх точек в нормированных плоскостях“, Чебышевский сборник. Т. 23(5): 72-86.Ilyukhin, D.A., 2022, “The Fermat–Torricelli problem in the case of three-point sets in normed planes”, Chebyshevskii Sbornik, vol. 23, no. 5, pp. 72–86.Иванов А. О., Тужилин А. А. Разветвленные геодезические в нормированных пространствах. // 2002. Изв. РАН. Сер. матем., 66:5, 33–82Ivanov, A.O., Tuzhilin, A.A., 2002, “Branching geodesics in normed spaces”, Izvestiya: Mathematics, vol. 66, no. 5, pp. 905–948.Иванов А. О., Тужилин А. А. Теория экстремальных сетей. // 2003. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований.Ivanov, A.O., Tuzhilin, A.A., 2003, “Extreme Networks Theory”, Moscow-Izhevsk: Institute of Computer Investigations.Kupitz Y. S., Martini H. Geometric aspects of the generalized Fermat–Torricelli problem. // 1997. Bolyai Society Mathematical Studies 6, 55-127.Kupitz, Y.S., Martini, H., 1997, “Geometric aspects of the generalized Fermat–Torricelli problem”, Bolyai Society Mathematical Studies, vol. 6, pp. 55–127.Martini H., Swanepoel K. J., Weis G. The Fermat–Torricelli problem in normed planes and spaces. // 2002. Journal of Optimization Theory and Applications 115, 283-314.Martini, H., Swanepoel, K.J., Weis, G., 2002, “The Fermat–Torricelli problem in normed planes and spaces”, Journal of Optimization Theory and Applications, vol. 115, pp. 283–314.Nguyen S. D. Constrained Fermat-Torricelli-Weber Problem in real Hilbert Spaces // 2018. ArXiv e-prints. arXiv:1806.04296.Nguyen, S.D., 2018, “Constrained Fermat-Torricelli-Weber Problem in real Hilbert Spaces”, ArXiv e-prints, arXiv:1806.04296.Torricelli E. De maximis et minimis. // 1919. Opere di Evangelista Torricelli, Faenza, Italy.Torricelli, E., 1919, “De maximis et minimis”, Opere di Evangelista Torricelli, Faenza, Italy.Uteshev A. Y. Analytical solution for the generalized Fermat–Torricelli problem // 2014. The American Mathematical Monthly 121(4), 318–331.Uteshev, A.Y., 2014, “Analytical solution for the generalized Fermat–Torricelli problem”, The American Mathematical Monthly, vol. 121, no. 4, pp. 318–331.Zachos A. N. An analytical solution of the weighted Fermat-Torricelli problem on the unit sphere // 2014. ArXiv e-prints. arXiv:1408.6495.Zachos, A.N., 2014, “An analytical solution of the weighted Fermat-Torricelli problem on the unit sphere”, ArXiv e-prints, arXiv:1408.6495.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.