chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2025-26-2-49-60cheb-1959Research ArticleСтатьиArticleПроблема построения геодезических в классе Громова – Хаусдорфа: оптимальная хаусдорфова реализация не всегда существуетThe problem of constructing geodesics in the Gromov–Hausdorff class: optimal Hausdorff realizations does not exists in general caseВихровАнтон АндреевичVikhrovAnton Andreevich

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

Lomonosov Moscow State University

Vihrov.01@mail.ru2025100720252624960Copyright © Вихров А.А., 20252025Вихров А.А.Vikhrov A.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1959

Данная работа посвящена изучению геодезических в классе метрических пространств, наделенных расстоянием Громова–Хаусдорфа. Исследование показывает, что построение линейной геодезической невозможно в общем случае, даже если рассматривать класс Громова – Хаусдорфа, отфакторизованным по нулевым расстояниям. Кроме того, установлено, что оптимальная хаусдорфова реализация разбивает метрические пространства, находящиеся на нулевом расстоянии, на классы эквивалентности с совпадающим пополнением.Также продемонстрировано, как можно построить геодезическую в примере Хансена, используя 0-модификации. Тем не менее показано, что в общем случае невозможно построение геодезической, используя оптимальную хаусдорфову реализацию. Тем самым показано, что геодезические в классе метрических пространств имеют еще более богатую структуру и на класс метрических пространств не могут быть перенесены методы построения геодезических из пространства Громова – Хаусдорфа.

This work is devoted to the study of geodesics in the class of metric spaces endowed with the Gromov–Hausdorff distance. The study shows that the construction of a linear geodesic is impossible in the general case, even if we consider the Gromov – Hausdorff class factored by zerodistances. Moreover, it is established that the optimal Hausdorff realization divides metric spaces at zero distance into equivalence classes with matching completions. It is also demonstrated howto construct a geodesic in Hansen’s example using 0-modifications. Nevertheless, it is shown that, in general, it is impossible to construct a geodesic using the optimal Hausdorff realization.This shows that geodesics in the class of metric spaces have an even richer structure, and the methods for constructing geodesics from the Gromov – Hausdorff space cannot be transferred to the class of metric spaces.

Класс Громова – Хаусдорфаметрические пространстваХаусдорфова реализацияметрические пространства в общем положенииGromov – Hausdorff classmetric spaceHausdorff realizationsgeneric metric spacesgeodesicsЭта работа выполнена с поддержкой гранта Базис номер 23-8-2-3-1.ReferencesBurago D., Burago Y., Ivanov S. A course in metric geometry. Providence: American Mathematical Society, 2021. 416 p. (Graduate Studies in Mathematics; vol. 33).Burago, D, Burago, Y, and Ivanov, S. 2021, A course in metric geometry. Graduate Studies in Mathematics, 33. Providence, RI: American Mathematical Society.Blumenthal L. Theory and applications of distance geometry // The Mathematical Gazette. 1954. Vol. 38, no. 324. P. 213-220.Blumenthal, L. 1954, “Theory and applications of distance geometry”, The Mathematical Gazette, 38(216).Chikin V.M. Functions preserving metrics, and Gromov-Hausdorff space // Moscow University Mathematics Bulletin. 2021. Vol. 76. P. 154-160.Chikin, V.M. 2021, “Functions preserving metrics, and Gromov–Hausdorff space”, Moscow University Mathematics Bulletin, 76, pp. 154–160.Chowdhury S., M´emoli F. Explicit geodesics in Gromov-Hausdorff space // Electronic Research Announcements. 2018. Vol. 25. P. 48-59.Chowdhury, S. and M´emoli, F. 2018, “Explicit geodesics in Gromov–Hausdorff space”, Electronic Research Announcement, 25, pp. 48–59.Bogataya S.I., Bogatyy S.A., Redkozubov V.V., Tuzhilin A.A. Gromov-Hausdorff class: its completeness and cloud geometry // Topology and its Applications. 2023. Vol. 329. P. 108771.Bogataya, S.I., Bogatyy, S.A., Redkozubov, V.V. and Tuzhilin, A.A. 2023, “Gromov–Hausdorff class: its completeness and cloud geometry”, Topology and its Applications, 329.Gromov M. Structures m´etriques pour les vari´et´es riemanniennes. Paris: CEDIC, 1981. 120 p.Gromov, M. 1981, Structures m´etriques pour les vari´et´es riemanniennes. Textes Math´ematiques, no. 1. Paris: CEDIC.Hansen J. Is Gromov Hausdorff distance realized when one space is compact? // Math Stack Exchange. 2022. URL: https://math.stackexchange.com/questions/4552398 (дата обращения: 22.11.2024).Hansen, J. (n.d.). “Is Gromov–Hausdorff distance realized when one space is compact?“”, Math Stack Exchange. Available at: https://math.stackexchange.com/questions/4552398/is-gromovhausdorff-distance-realized-when-one-space-is-compact. (Accessed: 22 November 2024).Ivanov A.O., Iliadis S., Tuzhilin A.A. Realizations of Gromov-Hausdorff distance // ArXiv e-prints. 2016. arXiv:1603.08850 [math.MG].Ivanov, A.O., Iliadis, S. and Tuzhilin, A.A. 2016, “Realizations of Gromov–Hausdorff distance”, ArXiv e-prints, arXiv:1603.08850.Ivanov A.O., Nikolaeva N.K., Tuzhilin A.A. The Gromov-Hausdorff metric on the space of compact metric spaces is strictly intrinsic // Mathematical Notes. 2016. Vol. 100, no. 6. P. 883-885.Ivanov, A.O., Nikolaeva, N.K. and Tuzhilin, A.A. 2016, “The Gromov–Hausdorff metric on the space of compact metric spaces is strictly intrinsic”, Mathematical Notes, 100, pp. 883–885.Ivanov A.O., Tuzhilin A.A. Isometric embeddings of bounded metric spaces into the Gromov-Hausdorff class // Sbornik: Mathematics. 2022. Vol. 213, no. 10. P. 1400-1414.Ivanov, A.O. and Tuzhilin, A.A. 2022, “Isometric embeddings of bounded metric spaces into the Gromov–Hausdorff class”, Sbornik: Mathematics, 213(10), pp. 1400–1414.Grigorjev D.S., Ivanov A.O., Tuzhilin A.A. Gromov-Hausdorff distance to simplexes // Chebyshevskii Sbornik. 2019. Vol. 20, no. 2. P. 100-114.Grigorjev, D.S., Ivanov, A.O. and Tuzhilin, A.A. 2019, “Gromov–Hausdorff distance to simplexes”, Chebyshevskii Sbornik, 20(2), pp. 100–114.Bors´ık J., Doboˇ𝑠 J. On metric preserving functions // Real Analysis Exchange. 1988. Vol. 13, no. 2. P. 285-293.Bors´ık, J. and Doboˇ𝑠, J. 1988, “On metric preserving functions”, Real Analysis Exchange.Vikhrov A. Denseness of metric spaces in general position in the Gromov-Hausdorff class // Topology and its Applications. 2024. Vol. 342. P. 108771.Vikhrov, A. 2024, “Denseness of metric spaces in general position in the Gromov–Hausdorff class”, Topology and its Applications, 342.Vikhrov A. Geometry of linear and nonlinear geodesics in the proper Gromov-Hausdorff class // Matematiˇ𝑐ki Vesnik. 2024. Vol. 76, no. 1. P. 1-15.Vikhrov, A. 2024, “Geometry of linear and nonlinear geodesics in the proper Gromov–Hausdorff class”, MATEMATI ˇ 𝐶KI VESNIK, 342.M´emoli F., Wan Z. Characterization of Gromov-type geodesics // Differential Geometry and its Applications. 2023. Vol. 88. P. 102006. DOI: 10.1016/j.difgeo.2023.102006.M´emoli, F. and Wan, Z. 2023, “Characterization of Gromov-type geodesics”, Differential Geometry and its Applications, 88, Article 102006. Available at: https://doi.org/10.1016/j.difgeo.2023.102006.Ghanaat P. Gromov-Hausdorff distance and applications // Metric Geometry Les Diablerets. 2013. 25-30 August. P. 1-15.Ghanaat, P. (2013) “Gromov-Hausdorff distance and applications”, Metric Geometry Les Diablerets, 25–30 August.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.