chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2025-26-2-33-48cheb-1958Research ArticleСтатьиArticleПогружения двудольных графов и нумизматикаImmersions of bipartite graphs and numismaticsБогатыйСемеон АнтоновичBogatyySemeon Antonovich

доктор физико-математических наук, профессор

doctor of physical and mathematical sciences, professor

bogatyi@inbox.ruГрубияновСергей ФедоровичGrubiyanovSergey Fedorovich

выпускник механико-математического факультета МГУим. М. В. Ломоносова

graduate of the Faculty of Mechanics and Mathematics ofLomonosov Moscow State University

sfg@live.ruМосковский государственный университет им. М.В. ЛомоносоваРоссияLomonosov Moscow State UniversityRussian Federation2025100720252623348Copyright © Богатый С.А., Грубиянов С.Ф., 20252025Богатый С.А., Грубиянов С.Ф.Bogatyy S.A., Grubiyanov S.F.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/1958

Изучаются двудольные погружения двудольного графа в плоскость с минимальным числом самопересечения. Для некоторых классов двудольных графов вычислено минимальное число самопересечения для всех двудольных погружений. В частности описаны все графы, обладающие двудольным вложением в плоскость. Даны приложения к хронологическому упорядочению начального чекана Ширваншаха Абу Мансур Али ибн Йазида (425–435 гг.х. = 1034–1044 р.х.).

Bipartite immersions of a bipartite graph into a plane with a minimum self-intersection number are studied. For some classes of bipartite graphs, the minimum self-intersection number is calculated for all bipartite immersions. In particular, all graphs with a bipartite embeddinginto a plane are described. Appendixes are given to the chronological ordering of the initial coinage of Shirvanshah Abu Mansur Ali bin Yazid (425-435 AH = 1034-1044 AD).

конечнократное отображение в евклидово пространстворазмерностьплотное подмножество.finite-multiple mapping into Euclidean spacedimensiondense subset.ReferencesThomassen Carsten. The graph genus problem is NP-complete // Journal of Algorithms. 1989. V. 10. № 4. P. 568–576. doi:10.1016/0196-6774(89)90006-0.Thomassen, C., 1989, “The graph genus problem is NP-complete”, Journal of Algorithms, vol. 10, no. 4, pp. 568–576. DOI: https://doi.org/10.1016/0196-6774(89)90006-0.Mohar Bojan A Linear Time Algorithm for Embedding Graphs in an Arbitrary Surface // SIAM J. Discr. Math. 1999. V. 12. № 1. P. 6-26. doi:10.1137/S089548019529248X.Mohar, B., 1999, “A linear time algorithm for embedding graphs in an arbitrary surface”, SIAM Journal on Discrete Mathematics, vol. 12, no. 1, pp. 6–26. DOI: https://doi.org/10.1137/S089548019529248X.M. R. Garey, D. S. Johnson. Crossing number is 𝑁𝑃-complete // SIAM J. Alg. Discr. Meth. 1983. V. 4. № 3. P. 312-316. doi: 10.1137/0604033Garey, M.R., Johnson, D.S., 1983, “Crossing number is NP-complete”, SIAM Journal on Algebraic Discrete Methods, vol. 4, no. 3, pp. 312–316. DOI: https://doi.org/10.1137/0604033.Носовский Г.В., Фоменко А.Т. Старые русские деньги. Средневековые русские монеты с арабскими надписями – Москва: Издательство АСТ, 2024 г.Nosovskiy, G.V., Fomenko, A.T., 2024, “Old Russian money. Medieval Russian coins with Arabic inscriptions”, Moscow: AST Publishing House, 352 p.Минорский В.Ф. История Ширвана и Дербенда X–XI веков – Москва: 1963 г.Minorsky, V.F., 1963, “History of Shirvan and Derbent in the 10th–11th centuries”, Moscow.Ашурбейли С.Б. Государство Ширваншахов (VI–XVI вв.) – Баку: Издательство “Элм”, 1983 г.Ashurbeyli, S.B., 1983, “State of the Shirvanshahs (VI–XVI centuries)”, Baku: Publishing house “Elm”, 344 p.Пахомов Е.А. Монеты Азербайджана – Баку: вып 1, 1959 г.; вып 2, 1962 г.Pakhomov, E.A., 1959; 1962, “Coins of Azerbaijan”, Baku: issue number 1; issue number 2.Сейфеддини М.А. Монетное дело и денежное обращение в Азербайджане XII–XV вв. – Баку: Издательство “Элм”, Книга I. 1978 г.; Книга II. 1981 г.Seifeddini, M.A., 1978; 1981, “Coinage and money circulation in Azerbaijan in the 12th–15th centuries”, Baku: Publishing house “Elm”, Book I, 268 p.; Book II, 244 p.Сейфеддини М.А., Алиев З.М. Нумизматика Азербайджана. Денежное обращение и монетное дело при феодальных государствах Азербайджана (IX – первой половины XIII в.) – Баку: Издательство “Элм”, Том II. 1997 г.Seifeddini, M.A., Aliyev, Z.M., 1997, “Numismatics of Azerbaijan. Money circulation and coinage in the feudal states of Azerbaijan (IX – first half of the XIII century)”, Baku: Publishing house “Elm”, Book II., 228 p.Раджабли Али. Нумизматика Азербайджана. (Очерки истории монетного дела и денежного обращения Азербайджана) – Баку: Издательство “Элм ве Хаят”, 1997 г.Rajabli, A., 1997, “Numismatics of Azerbaijan. (Essays on the history of coinage and money circulation in Azerbaijan)”, Baku: Publishing house “Elm ve Hayat”, 232 p.Злобин Г.В. Монеты Ширваншахов династии Дербенди (третья династия) 784–956 г.х. / 1382–1548 гг. – Москва: Издательство “Маска”, 2010 г.Zlobin, G.V., 2010, “Coins of the Shirvanshahs of the Derbendi dynasty (third dynasty) 784–956 AH / 1382–1548”, Moscow: Publishing house “Maska”, 432 p.Раджабли Али Монеты Азербайджана – Баку: Издательство “Xalq Bank”, 2012 г.Rajabli, A., 2012, “Coins of Azerbaijan”, Baku: Publishing house “Xalq Bank”, 358 p.Раджабли Али Монетная чеканка в государстве Ширваншахов (VIII – XVI вв) – Баку: Издательство “Тахсиль ве Тедрис”, 2015 г.Rajabli, A., 2015, “Coin minting in the state of the Shirvanshahs (VIII – XVI centuries)”, Baku: Publishing house “Tahsil ve Tedris”, 240 p.Злобин Г.В., Казбеков К.Х. К нумизматике ширваншахов Кисранидов: Уточнение даты начала правления ширваншаха Али б. Йазида 425–435 г.х./1034–1043 гг. Journey from modern Azerbaijan to the historical states of Shirvanshahs. Baku: 2018, с. 299–303.Zlobin, G.V., Kazbekov, K.Kh., 2018, “On the numismatics of the Shirvanshahs of the Kisranids: Clarification of the start date of the reign of Shirvanshah Ali b. Yazid 425–435 AH / 1034–1043”, in “Journey from modern Azerbaijan to the historical states of Shirvanshahs”, Baku, pp. 299–303.Злобин Г.В. Монеты Ширвана и Ширваншахов династии Кесранидов (вторая династия) 330–784 г.х. / 941–1382 гг. – Москва: Издательство “Маска”, 2020 г.Zlobin, G.V., 2020, “Coins of Shirvan and the Shirvanshahs of the Kesranid dynasty (second dynasty) 330–784 AH / 941–1382”, Moscow: Publishing house “Maska”, 800 p.Аликберов А.К. Об авторе исторической хроники XI в. “Та’рих Баб ал-абваб ва-Ширван”. Рукописная и книжная культура в Дагестане – Махачкала: 1990, с. 119—121.Alikberov, A.K., 1990, “About the author of the historical chronicle of the 11th century “Ta’rikh Bab al-abwab va-Shirvan” ”, in “Manuscript and book culture in Dagestan”, Makhachkala, pp. 119–121.Мельникова А.С. Русские монеты от Ивана Грозного до Петра Первого – Москва: Издательство "Финансы и статистика 1989 г.Melnikova, A.S., 1989, “Russian coins from Ivan the Terrible to Peter the Great”, Moscow: Publishing house “Finance and statistics”.Клещинов В.Н., Гришин И.В. Каталог русских средневековых монет c правления царя Ивана IV (Грозного) до шведской оккупации Новгорода (1533-1617гг.) Москва: Издательство УРСС, 1998 г.Kleshchinov, V.N., Grishin, I.V., 1998, “Catalog of Russian medieval coins from the reign of Tsar Ivan IV (the Terrible) to the Swedish occupation of Novgorod (1533–1617)”, Moscow: Publishing house URSS.Савоста Р.Ю. Монеты Хаджи-Тархана 813 – 831 годов хиджры – Николаев: 2016 г.Savosta, R.Ju., 2016, “Coins of Haji-Tarkhan 813–831 Anno Hegirae”, Nikolaev.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.